2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 2．抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点M、N． ①连结，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结，过点C作，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得与相似？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，点C的坐标为．已知点是线段上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作轴交抛物线于点P，交于点F． (1)求该抛物线的表达式； (2)若，请求出m的值； (3)是否存在这样的m，使得与相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由； (4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标． 5．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，． (1)求二次函数解析式； (2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由． (3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________． 6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 7．已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段的中点，过点A，E的抛物线与边交于点D， (1)求点的坐标； (2)连接，将沿着翻折痕． ①当的对应点恰好落在线段上时，求点的坐标； ②连接，，若与相似，请直接写出此时抛物线二次项系数______． 9．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在直线BC下方抛物线上一点P，作垂直于点Q，连接，当中有一个角等于时，求点P的坐标． 10．如图，抛物线顶点D在x轴上，且经过和两点，抛物线与直线l交于A、B两点． (1)直接写出抛物线解析式和D点坐标； (2)如图1，若，且 求直线l解析式； (3)如图2，若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标． 11．如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作，交x轴于点E，连接OP交BC于点F． (1)直接写出点A，B，C的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P在线段BC下方抛物线上运动时，求取到最小值时点P的坐标； (3)当点P在y轴右边抛物线上运动时，过点P作PE的垂线交抛物线对称轴于点G，是否存在点P，使以P、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，来出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，点为线段上一动点不与点重