立体几何垂直证明解答题专练（2）——2023届高三数学二轮专题练习

解答题专练-立体几何垂直证明（2） 一、解答题 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是矩形，且AD＝2，AB＝PA＝1，平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点． (1)证明：； (2)求四棱锥P﹣ABCD的表面积； (3)求直线PE与平面PFD所成角的大小． 2．如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，. (1)若，试证； (2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，． (1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB； (2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值． 4．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC． 5．已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问： (1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明； (2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值． 6．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1=；③AA1=. 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为垂足. (1)当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由； (2)若，且与平面所成角为，求二面角的大小. 8．四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面. (1)证明：； (2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专练-立体几何垂直证明（2） 一、解答题 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是矩形，且AD＝2，AB＝PA＝1，平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点． (1)证明：； (2)求四棱锥P﹣ABCD的表面积； (3)求直线PE与平面PFD所成角的大小． 2．如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，. (1)若，试证； (2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，． (1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB； (2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值． 4．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC． 5．已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问： (1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明； (2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值． 6．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1=；③AA1=. 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为垂足. (1)当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由； (2)若，且与平面所成角为，求二面角的大小. 8．四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面. (1)证明：； (2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 参考答案： 1．【解析】（1）连结AF， 则在中，，同理：DF＝，又AD＝2， ∴DF2+AF2＝AD2，则， ∵底面ABCD，面ABCD，∴， 又PA∩AF＝A，平面PAF，∴平面PAF， 而平面PAF，则； . （2）已知底面ABCD，所以， 因为在矩形中，， 又面，所以面， 又面，所以， 同理：，又， 因此，，，，， ∴四棱锥P﹣ABCD的表面积. （3）连接EP、ED、EF， ∵， ∴＝， 又，，， 设点E到平面PFD的距离为h，则由VE﹣PFD＝VP﹣EFD， 得，解得， 设直线PE与平面PFD所成角的大小为θ，则， 则直线PE与平面PFD所成角的大小为． 2．【解析】（1）在中，∵为中点且， ∴. ∵平面平面交线为， ∴平面，∴. ∵，分别为，的中点， ∴. ∴. 在直角和直角中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴平面，平面， ∴. （2） ∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点， 以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ∴，. 设平面的一个法向量为， 则， 令得，， 设，，则， ∴，， 设直线与平面所成的角为， 则. 若，此时点与重合， 若，令，则. 当，即，为的中点时，取得最大值. 3．【解析】（1）证明：连接交于，连接， 因为