上海市七宝中学2020-2021学年高三下学期开学考试数学试卷

上海市七宝中学2020-2021学年高三下开学考数学试卷 2021.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________. 2. 函数与的图像关于直线对称，则__________. 3. 计算__________. 4. 若向量，满足，，，则__________. 5. 在中，，，，则__________. 6. 已知，则，的值域为__________. 7. 设满足，其中是二项式的展开式中的常数项，则的通项公式__________. 8. 已知，平面区域的面积为，则__________. 9.已知函数奇函数，写出一个满足条件的__________. 10. 元宵节，吕老师煮了芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆外部特征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到一个的概率为__________. 11. 阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。若平面内两定点，间的距离为3，动点满足，则的取值范围为__________. 12. 如图1，已知四面体的所有棱长都为，，分别为线段和的中点，直线垂直水平地面，该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的主视图恰为双曲线的一部分，试应用祖暅原理，求出图2几何体的体积为__________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若和相交，则和相交或异面 14. 设为实数，直线，直线，则“”是“，不平行”的（ ）条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15. 若实数，满足，则（ D ） A. B. C. D. 16. 集合共有个三元子集，若将的三个元素之和记为，则（ A ） A.1980 B.6600 C.990 D.3300 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是半径，且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面. （1）求该圆锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小. 18. 已知关于的方程在复数集内有两个根，，且满足， （1）求实数的值； （2）若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围。 19. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以为圆心，半径为1千米的圆周。已有两条夹角为的道路，，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点，。现规划修建一条新路（由线段，，线段三段组成），其中点，分别在，上，且使得，所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点，，所对的圆心角为，记（道路宽度均忽略不计） （1）若，求四边形的面积； （2）求新路总长度的最小值（精确到0.01千米） 20. 在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，右焦点与的焦点重合，过定点，（不与椭圆的顶点和中心重合）且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点， （1）求椭圆的方程； （2）若，当面积取最大值时，求直线的方程； （3）是否存在定点，使得点关于轴的对称点恒在直线上？说明理由. 21. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列. ①求； ②对于①中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市七宝中学2020-2021学年高三下开学考数学试卷 2021.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________. 【解析】，所以. 2. 函数与的图像关于直线对称，则__________. 【解析】因为函数与的图像关于直线对称，所以是 的反函数，故，所以. 3. 计算__________. 【解析】因为， 所以. 4. 若向量，满足，，，则__________. 【解析】因为，，，所以 所以，所以， 所以. 5. 在中，，，，则__________. 【解析】因为，所以， 所以，所以. 6. 已知，则，的值域为__________. 【解析】因为，所以且，所以，，又因为在上单调递增，故值域为. 7. 设满足，其中是二项式的展开式中的常数项，则的通项公式_________