立体几何中的球截面问题学习单——2023届高三数学一轮复习

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 高三 学期 春季 课题 立体几何中的球截面问题（微专题） 教科书 书 名：高中数学必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1. 探究正方体中的球截面模型，掌握解决立体几何中的球截面问题的基本方法。 2. 感受数学的对称美、简洁美，体会数形结合、化归转化的数学思想方法，发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养。 课前学习任务 1. 梳理以前学习中遇到的立体几何中的动点轨迹问题、球截面问题的解题思路，总结解题方法。 2. 利用Geogebra动画观察球被平面所截的形状。 课上学习任务 【学习任务一】 例：已知正方体的棱长为．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________． 问题1：球面与正方体的表面相交所得的曲线形状是什么？ 问题2：球面与正方体的几个面相交？ 变式1：已知正方体的棱长为1．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________． 问题3：和例题比哪个条件发生变化？产生什么影响？ 问题4：球面和其他面的交线是什么样的？ 变式2：已知正方体的棱长为1．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________． 问题5：此时球面与正方形会相交吗？和另外三个面会相交吗？怎么作出交线？ 方法总结： 问题6：求正方体中的球截面问题实际上是求什么？ 问题7：前面的探究中我们如何求圆弧长？ 问题8：求其他几何体表面与球相交的曲线长思路一样吗？ 【学习任务二】 练习：（2020新高考山东卷16）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面正方形BCC1B1的交线长为________． 问题9：球面与侧面正方形BCC1B1的交线轨迹是什么形状？ 问题10：圆弧的圆心和半径怎么确定？ 课堂小结： 问题11：一般情况下求几何体表面与球面的交线步骤是什么？ 问题12：在本节课中用到了哪些数学思想方法？体现了哪些数学核心素养？ 推荐的学习资源 1. 廖永福.一道新高考压轴题引发的思考——立体几何中的轨迹问题[J].数理化解题研究,2020(28):33-35. 2. 袁小棠,姚先伟.立体几何中轨迹问题的求解策略[J].数学通讯,2015(Z3):123-125. 学科网（北京）股份有限公司 $