存在性问题系列：等腰三角形 2023年九年级数学中考复习

存在性问题系列：等腰三角形 2022-2023九年级数学中考复习 （1）等腰三角形的存在性问题 1．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒． （1）当　　时，把的面积分成相等的两部分，并求出此时　　； （2）当为何值时，为等腰三角形． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为、 ． （1）求的长度． （2）如图2，若以为边在第一象限内作正方形，求点的坐标． （3）在轴上是否存一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）一次函数中等腰三角形存在性问题： 3．如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足． （1）求点，的坐标及线段的长度； （2）当为等腰三角形时，求点的坐标． 4．如图，一次函数的图象分别轴、轴交于点、，点从点出发，沿 射线以每秒1个单位的速度出发，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？ 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）设直线与直线相交于点，求的面积； （3）若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 6．一次函数的图象经过点并且与轴相交于点，直线 与轴交于点，点与点关于轴对称， 与轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使得为等腰三角形，求出此时点的坐标． （3）相似中的等腰三角形的存在性问题： 7．如图，在中，，，，点为边上的一个动点（点不与点重合），过作，垂足为，点在边 上，且与点关于直线对称，连接，． （1）求证：； （2）若平分，求线段的长； （3）当为等腰三角形时，求线段的长． 8．如图，中，，，．点 从出发沿向运动，速度为每秒，点是点以为对称中心的对称点，点运 动的同时，点从出发沿向运动，速度为每秒，当点到达顶点时，，同时停止运动，设，两点运动时间为秒． （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，为等腰三角形？（直接写出结果） 9．如图，在矩形中，，，动点从点出发沿向终点运动，同 时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作 ，交于点，动点、的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，、两点同时停止运动．设； （1）求关于的函数关系式； （2）是否存在这样的点和点，使、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，在中，，，，于点．点从点 出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段 向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止．设运动时间为秒． （1）求线段的长； （2）当为何值时，为等腰三角形？ 11．如图， 在中，，，． 点从点出发， 以 的速度沿向终点匀速移动 ． 过点作，垂足为点，以为边作正方形，点在边上， 连接． 设点移动的时间为． （1）　　； （用 含的代数式表示） （2） 当点分别满足下列条件时， 求出相应的的值； ①点，，在同一条直线上； ②点落在边上； （3） 当为等腰三角形时， 求的值 ． 答案版 等腰三角形的存在性问题： （1）等腰三角形的存在性问题 1． 【解答】解：（1），，， ， 当把的面积分成相等的两部分时，点为的中点， 点运动的路程为， ， 此时； 故答案为：，； （2）为等腰三角形，点只能在上且． 设，则， 在中，， 即， 解之得：， 当为时，为等腰三角形． 2 【解答】解：（1），， ，， ， （2）如图，过点作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）设， ，， ，，， 是等腰三角形， ①当时， ， 或9， 或， ②当时， ， ， ，， ③当时， ， （舍或， ． 即：满足条件的点的坐标为、、、，． 3． 【解答】解：（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为； 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ． （2）分为三种情况： ①当时，如图1所示，由（2）知，当点的坐标是时，， ， 此时的坐标是； ②当时，则， ， ． 而根据三角形的外角性质得：， 此种情况不存在； ③当时，则， ，如图2所示． 设此时的坐标是， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 此时的坐标是，． 综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标是或，． （2）一次函数中等腰三角形存在性问题： 4． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，，． 分三种情况考虑： ①当时，， 解得：，； ②当时，， 解得：，， 当时，点的坐标为，此时点，重合， 舍去； ③当时，， 解得：． 综上所述：当为2.8，4，5，16时，为等腰三角形． 5． 【解答】解：（1）设直线所对应的函数表达式为，