上海市七宝中学2021-2022学年高三下学期3月月考数学试卷

上海市七宝中学2021-2022学年高三下3月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，且，则实数的值是　　． 2.若直线的参数方程为，则直线在轴上的截距是　　． 3.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的　　倍． 4.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作　　个三角形（结果用数值表示） 5.把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为，则关于的不等式的解集为　　． 6.已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为　　． 7.已知，、，是虚数单位．若复数是实数，则的最小值为　　． 8.已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数 的图像在区间上的交点的个数为　　． 9.已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为　　． 10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为　　． 11.已知单位单位，向量，满足，且，其中，当取到最小时，　　．　　 12.已知是定义在上的函数，若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数b的取值范围是　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.的展开式中的系数为　　 A．10 B．20 C．40 D．80 14.已知欧拉公式为虚数单位），则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 16.设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，，，遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，在正三棱柱中, ,异面直线与所成角的大小为． （1）求正三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）． B1 A1 C1 A C B 18.某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线为海岸线，，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．O A B P Q （2）如图，直线为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场． 方案一：围成三角形（点在直线上），使三角形面积最大，设其为； 方案二：围成弓形（点在直线上，是优弧所在圆的圆心且），其面积为； 试求出的最大值和（均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好． A B O C E D 19.已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，数列满足. （1）求； （2）已知等式对成立，请用该结论求有穷数列的前项和. 20.（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程； （2）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值； （3）由抛物线弧与第（1）小题椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆”，设“盾圆”上的两点、关于轴对称，为坐标原点，试求面积的最大值． 21.已知定义域为的函数同时满足： ①对于任意的，总有；②； ③若，则有．那么 （1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：满足上述条件的函数对定义域内任意实数，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市七宝中学2021-2022学年高三下3月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，且，则实数的值是　　． 【解析】因为，故或 当时，，此时，不满足， 当时，，此时，满足， 综上所述，． 2.若直线的参数方程为，则直线在轴上的截距是　　． 【解析】令，得，，所以直线在轴上的截距是1． 3.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的　　倍． 【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则体积， 设扩大后圆柱的高为，底面半径为，则体积， 由，得，则． 所以它的底面半径应该扩大为原来的倍