上海市七宝中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试卷

上海市七宝中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.若复数满足(为虚数单位)，则其共轭复数_________. 2.已知集合，且，则实数的取值范围是______________. 3.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为.若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为_________. 4.已知直线的参数方程为，请写出的一个方向向量____________. 5.若变量满足条件，则的最大值为___________. 6.一个立方体内接于一个球，则该立方体与该球体表面积的比值为___________. 7.已知行列式，则“存在，”是“”的__________条件. 8.如图，2根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球数依次为3,4.每枪恰打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，将这些气球都打破的不同打法有____________种(请用数字作答). 9.已知平面向量满足，则的取值范围是______________. 10.若关于的方程恰有个实根，则_____________. 11.已知，且，则___________. 12.所有正整数平方的倒数和问题称为Basel问题，下面是著名的瑞士数学家Euler的一种推 导方法：已知，由方程有无穷多 个根，可得 ，将该式最 右边展开并比对系数，可得，即 类比上述思路与方法，由出发，写出一 个类似的结论________________________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.若事件与相互独立，且，则的值等于　　 A．0 B． C． D． 14.组合数恒等于　　 A． B． C． D． 15.已知正数满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 16.设定义域为的函数存在反函数，现有下述两个相关命题： ①若的图像是连续不断的曲线，且的图像有交点，则图像与直线 相交； ②若对任意,，则图像与直线相交. 则对于命题①与命题②的真假性判断，正确的为　　 A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，在三棱锥中，棱两两垂直，，点在上且. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求三棱锥的体积. 18.已知. （1）若，求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围. 19.如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计). （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； （2）若此时甲、乙两船相距米，求无人机到丙船的距离(精确到1米). 20.如图，直线与抛物线相交于不同的两点，且(为正常数)，线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线，记该交点为. （1）用表示出点的坐标，并证明垂直于轴； （2）求的面积(只与有关，与无关)； （3）张三同学在完成上述两小题后，分别连接，再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线，交点分别为，他立即写出了的面积，由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积，你认为张三能做到吗？若能，请你也求出该图形的面积；若不能，请说明理由. 21.给定一个n项的实数数列，任意选取一个实数c，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续施行这样的变换，这样的变换可以连续施行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，将第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称为“次归零变换”，如项数列有“次归零变换”. （1）对数列，请给出其一个“次归零变换”，其中； （2）求证：对任意项数列，都存在“次归零变换”； （3）分别判断两个数列与是否存在“次归零变换”，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市七宝中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.若复数满足(为虚数单位)，则其共轭复数_________. 【解析】，所以. 2.已知集合，且，则实数的取值范围是______________. 【答案】. 3.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为.若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为_________. 【解析】某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，本市共有城市数24， 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本， 每个个体被抽到的概率是，丙