安徽省泾县中学2020年强基夏令营选拔测试数学试卷

2020年泾县中学强基夏令营选拔测试 数 学 【注意事项】 1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。 2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。 3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。考试结束后，请将试卷 和答题卷一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （　　） 　A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局 2．已知实数满足，则的值是（　 　） （A）2或－3 （B）－2或3 （C）－2或1 （D）－1或2 3．若m为实数，则函数的图像与坐标轴交点的个数为（ ） （A）3 （B）2 （C）1或2 （D）2或3 4．如图2，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D, 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为（　 　） （A） （B） （C） （D） 图2 5．若n是正整数，定义!＝…(例如:、)，设m＝1！＋2！＋3！＋4！＋…＋2011！＋2012！，则m的末位数字为（ 　 ） （A）3 （B）5 （C）7 （D）8 6．若一个三角形至少有两条边相等，则称它为“规则三角形”．用一个正方体的任意三个顶点构成的所有三角形中，“规则三角形”的个数为（ ） （A）24 （B）28 （C）32 （D）56 二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，共42分．将答案填在答题卷中相应横线上．） 7．在实数范围内分解因式： ． 8．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种． 9．若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ． 10．若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a有解，则a的取值范围是____________ 　 11．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，至少有 人植树的株数相同。 12．把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________． ( ) 第12题图 13.如图，I是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠CIB＝_______ ( A C I B D ) 三、解答题（本大题共6小题，共78分．将答案填在答题卷中相应位置处，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14．（满分12分）先化简，再求值：， 其中：． 15．（满分14分）已知二次函数图像的顶点M在第二象限，且经过点 A（1，0）和点B（0，l），与x轴的另一个交点为C． （1）求实数的取值范围； （2）当△ABC面积等于时，求△ABM的面积． 16.（满分14分）如图4，已知：矩形中，AD＝7，AB＝9，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接． ( 图4 )（1）当的面积为时，求DG的长； （2）当的面积最小时，求DG的长． 17．（满分14分）已知为实数，关于的方程有且仅有三个不同的实数根． （1）求证：； （2）若该方程的三个不同实数根恰好为一个直角三角形的三条边长，求的值． ( 图5 )18．（满分14分）如图5，已知：中，，过、两点的圆分别交、于点、，设、相交于点，． （1）求证：； （2）求的度数． 19. （满分10分）已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数 　　　　　中， 至多有一个数不