精品解析：浙江金华第一中学2022年全国高中数学联赛一试考前押题最后一卷

金华一中2022年全国高中数学联赛一试考前押题最后一卷 命题：金华一中数学竞赛组 一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 若等差数列满足，则的值为___________. 2. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 3. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆在第二象限交于点，交轴于点.设点，若，则的值为__________. 4. 正三棱锥的侧棱长为1，侧面与底面所成二面角的大小为45°，则该正三棱锥的外接球的表面积为______． 5. 已知正数和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是__________. 6. 已知向量，，满足，，，则最大值是___________. 7. 设正整数满足，则的最小值为__________. 8. 定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数最大值为__________. 二､解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 9. 设复数满足，使得关于的方程有实根，求所有满足条件的复数的和. 10. 设集合，若且，判断满足条件集合的个数并说明理由. 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线.过原点作两条互相垂直直线分别交于两点和两点，且，在轴同侧. （1）求四边形面积取值范围； （2）设直线与的两渐近线分别交于两点，是否存在直线使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华一中2022年全国高中数学联赛一试考前押题最后一卷 命题：金华一中数学竞赛组 一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 若等差数列满足，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由条件得出首项和公差的方程组，即可求出. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 2. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 3. 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆在第二象限交于点，交轴于点.设点，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题设条件可得，再联立直线方程和椭圆方程，求出点横坐标后求出弦长，再根据点点距可得，从而得到关于的方程，求出其解后可得的值. 【详解】设，椭圆的上顶点为，左焦点为，则. 因在第二象限且，故. 由可得， 因为在第二象限且，故， 又 . 又 . 而，故， 所以，解得（负解舍去）. 故答案为：. 4. 正三棱锥的侧棱长为1，侧面与底面所成二面角的大小为45°，则该正三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，作的外心，则平面，作中点，连接， 易得，设，则， 在中，，即， 由球的性质可得，球心在直线上， 又由可得，在的中垂线上， 如图所示，，易得， 则球的表面积为， 故答案为：. 5. 已知正数和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原方程配成，利用基本不等式可判断出何时取最大值，从而得到的取值范围. 【详解】注意到，下分情况讨论. ①当，即时，，则的最大值为1，符合题意. ②当，即时，则 所以，所以， 当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾. ③当，即时，则. 当，即时，，所以， 不妨设，则，即，故， 此时无最大值，与题意矛盾； 当，即时，，所以， 当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意； 当，即时，恒成立， 此时无最大值，不符题意. 综上所述，若存在最大值，. 故答案为：. 6. 已知向量，，满足，，，则的最大值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先构造出，利用题目条件求出，再借助中线定理求出，利用基本不等式求出的最大值，即可求解. 【详解】 设，，， ∵，∴点是的重心， 又∵， ∴.∴是直角三角形， 又∵，即，则，，，. 在中，，两边同时平方得，又，可得， 即，∴，，当且仅当时，取等号；∴. 故答案为：