2022年北京中考数学一模分类汇编——新定义

2022北京中考数学一模分类汇编——新定义 1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1+x2＝y1+y2时，称点Q是点P的等和点． 已知点P（2，0）． （1）在Q1（0，2），Q2（﹣2，﹣1），Q3（1，3）中，点P的等和点有 　 　； （2）点A在直线y＝﹣x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； （3）已知点B（b，0）和线段MN，对于所有满足BC＝1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围． 2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”． （1）如图，⊙O的半径为1，点C（0，2）．△AOC为⊙O的“点A关联三角形” ①在P1（﹣1，0），P2（，）这两个点中，点A可以与点 　 　重合； ②点A的横坐标的最小值为 　 　； （2）⊙O的半径为1，点A（1，0），点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； （3）⊙O的半径为r，直线y＝x与⊙O在第一象限的交点为A，点C（4，0）．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 3．（2022•东城区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，则称点C为图形G的“友好点”． （1）已知点O（0，0），M（4，0），在点C1（0，4），C2（1，4），C3（2，﹣1）中，线段OM的“友好点”是 　 　； （2）直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C（2，1）为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围； （3）已知直线y＝x+d（d＞0）分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O“友好点”，直接写出d的取值范围． 4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”； （2）点M的坐标为（1，0）， ①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值． 5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”． （1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数． ①当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是 　 　； ②当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值． （2）若直线y＝x+3上存在⊙O的“等直点”，直接写出t的取值范围． 6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”． （1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积； （2）如图，已知点B（m，m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围； （3）已知⊙O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围． 7．（2022•海淀区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点． （1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）； ①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是 　 　，最大值是 　 　； ②在P（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是 　 　； （2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范