2023年九中考年级数学高频考点专题训练--圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点专题训练--圆的切线的证明 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF； （1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由． （2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长． 2．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=25，BC= ，求DE的长． 3．已知：如图， 是 上一点，半径 的延长线与过点 的直线交于 点， ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求弦 的长． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：直线CD为⊙O的切线； （2）当AB=2BE，且CE= 时，求AD的长． 5．如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M于点C． （1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标． （2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 6．如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点 ，与边 相交于点 ， ，垂足为点 ，连接 . （1）求证： 与 相切； （2）若 ， 的半径 ，求 的长. 7．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长. 8．已知 是圆 的直径，点 是圆 上一点，点 为圆 外一点，且 ， （1）求证： 为圆 的切线 （2）如果 ，求 的长． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是O的直径，BD＝BA＝12，BC＝5，BE⊥DC，交D的延长线于点E，BD交直径AC于点F． （1）求证：∠BCA＝∠BAD． （2）求证：BE是⊙O的切线． （3）若BD平分∠ABC，交⊙O于点D，求AD的长． 10．如图，直线 与⊙ 相离， 于点 ，与⊙ 相交于点 ， . 是直线 上一点，连结 并延长交⊙ 于另一点 ，且 . （1）求证： 是⊙ 的切线； （2）若⊙ 的半径为 ，求线段 的长. 11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°. （1）求证：EM是⊙O的切线； （2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积. 12．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O的直径BC的长． 13．如图，在 中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE=5，求⊙D的半径. 14．如图， 是 的直径， 切 于点 ， ， 的延长线交 于点 . （1）求证：直线 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长. 15．如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， . （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长. 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线． （1）尺规作图：过点D作DE⊥AC于E； （2）求DE的长． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠BCA=90°， ∵OF∥BC， ∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3， ∴OF⊥AC， ∵OC=OA， ∴∠B=∠1， ∴∠3=∠2， 在△OAF和△OCF中， ， ∴△OAF≌△OCF（SAS）， ∴∠OAF=∠OCF， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCF=90°， ∴∠OAF=90°， ∴FA⊥OA， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°， ∴OF= = =5 ∵FA⊥OA，OF⊥AC， ∴AC=2AE，△OAF的面积= AF•OA= OF•