2.6.1正弦定理课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.1 正弦定理 1 【问题思考】 1.在△ABC中,若A=30°,B=45°,AC=4,你能用余弦定理求出BC的长度吗? 提示:不能. 2.在Rt△ABC中,A=30°,斜边c=2. (1)请你求出△ABC的其他边和角. (3)对任意的直角三角形,是否都有(2)中的结论? (3)如图,△ABC为任意的一个直角三角形, 正弦定理的证明   教材中给出了当ΔABC为直角三角形和锐角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明. 正弦定理的描述 【文字语言】在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等 适用范围：任意的三角形 结构特征：分式连等形式，各边与其对角的正弦严格对应. 简单应用：两角任一边和两边及一边的对角 已知两角和一边解三角形 例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C) =180°-(30°+105°)=45°. 变式训练1在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为　　　　.  【例2】 在△ABC中,根据下列条件,解三角形. ∵C为△ABC的内角,∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=180°-A-C=90°, 延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形. 三角形解的个数 1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解. 2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解. 在△ABC中,当已知a,b和角A时, 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: (1)当A为锐角时,比较a,b,bsinA ①a<bsin A,无解; ②a=bsin A,一个解; ③bsin A<a<b,两个解; ④a≥b,一个解. (2)当A为直角或钝角时,比较a,b ①a>b,一个解; ②a≤b,无解. 例3满足条件a=4,b=3 ,A=45°的三角形的个数是(　　) A.1个 B.2个 C.无数个 D.不存在 答案B 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120°; (2)a=7,b=14,A=150°; (3)a=9,b=10,A=60°. 解(1)因为A=120°为钝角, a=5>b=4, 所以三角形有一解. (2)因为A=150°为钝角,a=7<b=14, 所以三角形无解. (3)因为a=60°为锐角,a=9,bsin A= 所以a>bsin A,所以三角形有两解. 答案D 正弦定理的拓展 1.正弦定理与三角形外接圆的关系 以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则 2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) 变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A. 变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 判断三角形的形状 例3已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. (2)计算的值,三者之间有何关系? 提示:(1)C=90°,B=60°,a=csin 30°=1,b=ccos 30°=. (2)由(1)知,=2,=2,=2, 故∴=2. ∵sin A=,sin B=, ∴=c,=c. 又=c, ∴=c. 故对任意的直角三角形都有(2)中的结论. . 由正弦定理,得, 解得a==4,c==2(). 解析C=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理得, 即, 故c==10. 答案10 (1)A=60°,c=,a=; (2)a=,b=,B=45°. 本例(1)改为“A=30°,c=,a=”,结果又怎样? 解:由正弦定理, 得sin C=. 又c=,a=,c>a,∴C>A. ∴b==2; 当C=120°时,B=180°-A-C=30°, 此时△ABC为等腰三角形,则b=a=. 综上可知,C=60°,B=90°,b=2 或C=120°,B=30°,b=. 解由正弦定理,得sin A=>1,则角A不存在,所以该三角形无解. 解析因为bsin A=3=3<a<b,所以有2个解,即三角形有2个. 变式训练3已知△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(　　) A. B.(,+∞) C.∪(,+∞) D.∪[1,+∞) 解析由B=45°,a=1,三角形有一解, 则b=asin B=sin 45°=,或b≥a=1,故选D. =2R. 变式2:sin A=,sin B=,sin C=. 试