2.6.1余弦定理课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.1 余弦定理 已知三角形的三边，求三角形的三个内角 已知三角形的两边及一个角，求其他边和角 问题提出 1 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【1】向量法 从而 如图，因为AC=AB+AC， 所以AC2=(AB+BC)2，即 AC2=AB2+BC2+2AB · BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B) 同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【2】解析法(建系法) 如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(,0),C( ) 所以 即 同理可证， 余弦定理 1 余弦定理的描述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是，则有 适用范围：任意的三角形 结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦” 简单应用：已知两边一角或已知三边，求三角形其他边角 余弦定理 1 勾股定理与余弦定理的联系: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 用余弦定理判断三角形的类型：         余弦定理 1 余弦定理的推论 已知两边及一角解三角形 解析:(1)在△ABC中,由余弦定理得, 答案:(1)7　(2)5 【例2】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,c=4,则△ABC最小角的余弦值是　　　　　.  解析:因为a=2,b=3,c=4,所以A是最小角, 已知三边解三角形 若将例2改为:已知a∶b∶c=2∶3∶4,则△ABC最大角的余弦值是(　　) 解析:因为a∶b∶c=2∶3∶4, 所以c边所对角最大.设a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 答案:B 忽视三角形的构成条件——两边之和大于第三边. 忽略构成三角形的条件 坑① 已知钝角三角形ABC的三边，求实数的范围. 【错解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角 由余弦定理的推论得 ∴ ，解得 又 ∵ 为三角形的边长，所以 【正解】∵，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角 由余弦定理的推论得 ∴ ，解得 由三角形两边之和大于第三边得解得，∴ 利用余弦定理判断三角形的形状 例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状. (2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状. 1.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,则△ABC为(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 解析因为c2<a2+b2,所以C为锐角. 因为a<b<c,所以C为最大角, 所以△ABC为锐角三角形. 答案B 变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)  答案直角 三角形的面积公式 1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则 变式1 在上例中，求三角形的面积取值范围. 变式2 在上例中，求三角形的周长取值范围. THANKS “ ” 例1(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a. 解(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3, 所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6. 当a=3时,A=30°,C=120°;当a=6时,由余弦定理,得cos A==0. 所以A=90°,所以C=60°. 练习 (1)在△ABC中,已知a=3,c=2,B=150°,则b=　　　; (2)已知△ABC中,cos A=,a=4,b=3,则c=　　　　　.  b2=a2+c2-2accos B=(3)2+22-2×3×2×=49,故b=7. (2)A为b,c的夹角,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得16=9+c2-6×c,整