第二部分 题型四 几何综合题（精练册）-【一战成名】2023云南中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·云南数学 第 二 部 分 题 型 专 练 题型四　几何综合题（省卷：２０２２、２０１８．２３） 类型一　非动态类问题（省卷：２０１８．２３） １．（２０２２常州）在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｏ是边 ＢＣ 上的一点．若△ＯＡＢ≌△ＯＣＤ，则点 Ｏ叫做 该四边形的“等形点”． （１）正方形　不存在　“等形点”（填“存在” 或“不存在”）； （２）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，边 ＢＣ上的点 Ｏ是四边形 ＡＢＣＤ的“等形点”．已知 ＣＤ＝４槡２，ＯＡ＝５，ＢＣ＝１２，连接 ＡＣ，求 ＡＣ的长； （３）在四边形ＥＦＧＨ中，ＥＨ∥ＦＧ．若边ＦＧ上 的点Ｏ是四边形ＥＦＧＨ的“等形点”，求 ＯＦ ＯＧ的值． 第１题图 解：（１）不存在；【解法提示】∵四边形ＡＢ ＣＤ是正方形，∴∠Ｃ＝９０°，∵△ＯＡＢ≌ △ＯＣＤ，∴∠ＯＡＢ＝∠Ｃ＝９０°．∵Ｏ是边 ＢＣ上的一点，∴正方形不存在“等形点”． （２）如解图①，作ＡＨ⊥ＢＯ于点Ｈ， ∵边ＢＣ上的点Ｏ是四边形ＡＢＣＤ的“等 形点”，∴△ＯＡＢ≌△ＯＣＤ， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝４槡２，ＯＡ＝ＯＣ＝５， ∵ＢＣ＝１２，∴ＢＯ＝７， 设ＯＨ＝ｘ，则ＢＨ＝７－ｘ， 由勾股定理得（４槡２） ２－（７－ｘ）２＝５２－ ｘ２，解得ｘ＝３， ∴ＯＨ＝３，∴ＡＨ＝４，ＣＨ＝８， 在 Ｒｔ△ＣＨＡ中，ＡＣ＝ ＡＨ２＋ＣＨ槡 ２ ＝ ４２＋８槡 ２＝４槡５； （３）ＯＦＯＧ＝１．详解见本书ＰＸ ２．（２０２２昆明官渡区一模）矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ、 ＢＤ交于点 Ｏ，ＢＣ＝ｋ·ＡＢ（ｋ为常数）．作 ∠ＥＯＦ＝９０°，ＯＥ、ＯＦ分别与ＡＢ、ＢＣ边相交 于点Ｅ、Ｆ，连接ＥＦ． （１）发现问题：如图①，若 ｋ＝１，猜想：ＯＥＯＦ＝ 　１　； （２）类比探究：如图②，ｋ≠１，探究线段 ＯＥ， ＯＦ之间的数量关系，并说明理由； （３）拓展运用：在（２）的条件下，若ＦＯ＝ＦＣ， ｋ＝槡５，ＯＤ＝２槡６，求ＥＦ的长． 图① 　　　 图② 第２题图 解：（１）１； （２）ＯＥ＝ｋ·ＯＦ；理由如下：如解图，过点 Ｏ作 ＯＰ⊥ＢＣ于点 Ｐ，作 ＯＱ⊥ＡＢ于点 Ｑ，则四边形 ＯＱＢＰ为矩形，∠ＯＱＥ＝ ∠ＯＰＦ＝９０°， ∵Ｏ为ＡＣ中点， ∴ＯＰ＝１２ＡＢ， ＯＱ＝１２ＢＣ， ∵∠ＱＯＰ＝∠ＥＯＦ＝９０°， ∴∠ＱＯＥ＝∠ＰＯＦ，∴△ＱＯＥ∽△ＰＯＦ， ∴ＯＥＯＦ＝ ＯＱ ＯＰ＝ １ ２ＢＣ １ ２ＡＢ ＝ｋ，即ＯＥ＝ｋ·ＯＦ； （３）ＥＦ＝６５槡３０．详解见本书                                                                ＰＸ ８５１ 一战成名·云南数学 第 二 部 分 题 型 专 练 ３．（２０２２西双版纳一模）如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ、Ｅ、Ｆ分别在边 ＢＣ、ＡＢ、ＣＡ上，且 ＤＥ∥ ＣＡ，ＤＦ∥ＡＢ，连接ＡＤ． （１）若ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，且ＢＤ＝ＣＤ，求证：四 边形ＡＥＤＦ是菱形； （２）若ＡＥ＝ＡＦ＝１，求 １ＡＢ＋ １ ＡＣ的值； （３）设△ＢＤＥ、△ＣＤＦ、四边形 ＡＥＤＦ的面积 分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ，求证：Ｓ ２＝４Ｓ１Ｓ２． 第３题图 （１）证明：∵ＤＥ∥ＣＡ，ＤＦ∥ＡＢ， ∴四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， ∵ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ， ∴ＡＤ是ＢＣ的垂直平分线， ∴ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， ∵ＤＥ∥ＣＡ，∴∠ＥＤＡ＝∠ＣＡＤ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＥＤＡ，∴ＥＡ＝ＥＤ， ∴四边形ＡＥＤＦ是菱形； （２）解：∵ＤＥ∥ＣＡ，∴△ＢＥＤ∽△ＢＡＣ， ∴ＤＥＡＣ＝ ＢＤ ＢＣ， ∵ＤＦ∥ＡＢ，∴△ＣＤＦ∽△ＣＢＡ， ∴ＤＦＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ， ∴ＤＥＡＣ＋ ＤＦ ＡＢ＝ ＢＤ ＢＣ＋ ＣＤ ＢＣ＝ ＢＤ＋ＣＤ ＢＣ ＝１， ∵四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， ∴ＤＥ＝ＡＦ，ＤＦ＝ＡＥ， ∵ＡＥ＝ＡＦ＝１，∴ＤＥ＝ＤＦ＝１， ∴ １ＡＢ＋ １ ＡＣ＝１； （３）Ｓ２＝４Ｓ１Ｓ２． 详解见本书ＰＸ ４．（２０２２包头）如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＣ是一条 对角线，且 ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，Ｅ，Ｆ是 ＡＤ 边上两点，点 Ｆ在点 Ｅ的右侧，ＡＥ＝ＤＦ，连 接ＣＥ，ＣＥ的延长线与 ＢＡ的延长线相交于 点Ｇ． （１）如图①，Ｍ是 ＢＣ边上一点，连接 ＡＭ， ＭＦ，ＭＦ与ＣＥ相交于点Ｎ． ①若ＡＥ＝３２，求ＡＧ的长； ②在满足①的条件下，若 ＥＮ＝ＮＣ，求 证：ＡＭ⊥ＢＣ； （２）如图②，连接 ＧＦ，Ｈ是 ＧＦ上一点，连接 ＥＨ．若∠ＥＨＧ＝∠ＥＦＧ＋∠ＣＥＦ，且 ＨＦ ＝２ＧＨ，求ＥＦ的长． 图① 　 图② 第４题图 （１）①解：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形