第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A．钝角三角形　　　　　　　 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析　因为P是△ABC所在平面内一点， 且|－|－|＋－2|＝0， 所以||－|(－)＋(－)|＝0， 即||＝|＋|， 所以|－|＝|＋|，两边平方并化简得·＝0，所以⊥， 所以∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形．故选AD. 答案　AD 2．在四边形ABCD中，下列结论不正确的是(　　) A．＋＋＝ B.＋＋＋＝0 C．＋＝ D.＋＝ 解析　由向量的三角形法则可得＋＋＝，＋＋＋＝0，＋＝，ABD正确， 只有当四边形ABCD为平行四边形时，＋＝才成立，故C错误．故选C． 答案　C 3．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D．40 N 解析　如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力． 由题意，易知|F|＝|F1|，|F|＝20 N， 所以|F1|＝|F2|＝10(N)． 当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时|F合|＝|F1|＝10 (N)． 答案　B 4．某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________ . 解析　如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥， 则||＝＝60(m)， tan∠BOA＝.所以∠BOA＝60°. 答案　60　60° 5．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________ . 解析　如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝.cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－， ∴·＝||·||·cos∠DPB＝1××(－)＝－1. 答案　　－1 6.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明　证法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 证法二　如下图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. [关键能力·综合提升] 7．点O是三角形ABC所在平面内的一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 解析　∵·＝·，∴(－)·＝0，·＝0，∴OB⊥AC．同理，OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的三条高的交点，即垂心． 答案　D 8．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度为(　　) A． m/s B．10 m/s C． m/s D．2 m/s 解析　为了使航向垂直于河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度|v2|＝2(m/s)，平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度|v|＝10(m/s)，指向对岸，∴小船在静水中的速度|v1|＝＝＝2(m/s)． 答案　D 9．边长为2的正三角形ABC中，点P满足＝(＋)，则·＝________ . 解析　在正三角形ABC中，边长为2，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋，所以·＝·＝·＋·＝×2×2×cos 60°＋×2×2×cos 60°＝2. 答案　2 10．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC． 证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)， 则D(0,1)，于是＝(－2，1)，＝(－2,2)， 设F(x，y)，由⊥， 得·＝0， 即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.① 又点F在AC上，则∥， 而＝(－x,2－y)，因此 －2(2－y)－2(－x)＝0，即x＋y＝2，② 由①②式解得x＝，y＝， ∴F，＝，＝(0,1)， ·＝， 又·＝||||cos θ＝cos θ， ∴cos θ＝，即cos∠FDC＝， 又cos∠ADB＝＝＝， ∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC． [核心素养·探索创新