第2章 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　) A．10 km　　　　　　　　 B. km C．10 km D．10 km 解析　由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC＝10(km)． 答案　D 2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)： ①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a. 一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析　①测量A，C，b，因为知道A，C，可求出B，由正弦定理可求出c；②测量a，b，C，已知两边及夹角，可利用余弦定理求出c；③测量A，B，a，因为知道A，B，可求出C，由正弦定理可求出c，故三种方法都可以． 答案　D 3.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m B． m C．15 m D．45 m 解析　在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－， 所以sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°， 所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝. 在Rt△ACD中， AD＝ACsin∠ACD＝15×＝(m)． 答案　B 4．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被科学家誉为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________m. 解析　在△BCD中，∠BDC＝15°，CD＝35 m，∠BCD＝∠DCA＋∠ACB＝15°＋120°＝135°， ∴∠CBD＝30°，根据正弦定理可知＝，∴BD＝35 m， 在△ACD中，∠DCA＝15°，CD＝35 m， ∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝15°＋135°＝150°， ∴∠CAD＝15°，∴AD＝CD＝35 m. 在△ABD中，根据余弦定理可知AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠BDA＝352＋(35)2－2×35×35×cos 135°＝6 125， ∴AB＝35 m，故答案为35. 答案　35 5．如图，从气球A上测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位，参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析　根据已知的图形可得AB＝. 在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得＝， 所以BC≈2××0.60＝60(m)． 答案　60 6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？ 解析　在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝202＋102－2×20×10×＝700，所以BC＝10. 由正弦定理得＝， 所以sin∠ACB＝·sin∠BAC＝·sin 120°＝.所以∠ACB≈41°. 所以乙船应朝北偏东约30°＋41°＝71°的方向沿直线前往B处救援． [关键能力·综合提升] 7．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 解析　设A地东北方向上存在点P到B的距离为30 km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A， 即302＝x2＋402－2x·40cos 45°， 化简得x2－40x＋700＝0， |x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400， |x1－x2|＝20， 即图中的CD＝20(km)，故t＝＝＝1(h)． 答案　B 8．(多选题)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，