第2章 6.1 第2课时 正弦定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80° 解析　选项B满足csin 60°＜b＜c，选项C满足bsin 45°＜a＜b，所以B，C中三角形有两解，对于选项A，可得B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解，对于选项D，由sin B＝，且b＜a，可得B为锐角，即三角形只有一解． 答案　BC 2．在△ABC中，a＝2，c＝3，∠C＝，那么sin A＝(　　) A．　　　　　　　　 B. C． D． 解析　由正弦定理得＝⇒sin A＝＝＝. 答案　C 3．若△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则三边之比a∶b∶c为(　　) A．3∶2∶1 B．2∶∶1 C．∶∶1 D．∶2∶1 解析　已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则有B＝2C，A＝3C，再由A＋B＋C＝π可得C＝，故三内角分别A＝，B＝，C＝， 再由正弦定理可得三边之比a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1. 答案　B 4．在△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________ . 解析　因为＝，所以＝， 所以b＝a　①， 又因为a＋b＝12　②， 由①②可知a＝12(3－)． 答案　12(3－) 5．在△ABC中，若三个内角A，B，C满足sin2 A＝sin2 B＋sin Bsin C＋sin2 C，则角A等于________ . 解析　由条件及正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2， 即＝－，由余弦定理得cos A＝－.又∵A∈(0，π)，∴A＝. 答案　 6．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且sin B＝，b＝2. (1)当A＝30°时，求a的值； (2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值． 解析　(1)因为sin B＝，又因为A＝30°，所以由正弦定理可知a＝＝＝. (2)因为S△ABC＝acsin B，所以ac＝3，ac＝， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－9， 即a2＋c2＝13，则(a＋c)2－2ac＝13， (a＋c)2＝28，故a＋c＝2. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则△ABC的面积为(　　) A．8 B．16 C．32 D．16 解析　在△ABC中，由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝， 又b>a，∴B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°， ∴S△ABC＝absin C＝×8×8×1＝32. 当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°， ∴S△ABC＝absin C＝×8×8×＝16. 答案　CD 8．(多选题)在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(　　) A．由已知条件知这个三角形被唯一确定 B．△ABC一定是一个钝角三角形 C．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3 D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是 解析　由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，可得a∶b∶c＝7∶5∶3，即只知道三边的比例关系，无法确定唯一的三角形，故A错误；cos A＝＝－，可得A＝π，即△ABC是钝角三角形，故B正确；由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3，故C正确；因为b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bc·sin A＝×5×3×＝，故D错误． 答案　BC 9．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________ . 解析　∵m∥n， ∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0， 由正弦定理，得(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)， 即a2＋c2－b2＝－ac， 再由余弦定理，得cos B＝－， 又0°<B<180°，∴B＝150°. 答案　150° 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A； (2)若a＝4，b＝4，求△ABC的面积． 解析　(1)由正弦定理及＝， 可得＝. 因为sin Bsin C≠0， 所以2cos A＝1，即cos A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A 得48＝16＋