第2章 6.1 第1课时 余弦定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则C＝(　　) A．150°　　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 解析　cos C＝＝＝－， 所以C＝120°. 答案　B 2．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大角为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析　由余弦定理得cos C＝ ＝＝－， ∵0°<C<180°，∴C＝150°， 故三角形的最大角是150°. 答案　D 3．若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝(　　) A． B．8－4 C．1 D． 解析　由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2abcos C，且C＝60°，则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝. 答案　A 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝________ . 解析　cos C＝－cos(A＋B)＝－， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C ＝32＋22－2×3×2×＝17， 所以c＝. 答案　 5．在△ABC中，a＝3，b＝，B＝60°，则c＝________，△ABC的面积为________ . 解析　由余弦定理，得9＋c2－2×3c×＝13，解得c＝4或c＝－1(舍)；由三角形的面积公式，得S＝acsin B＝×3×4×＝3. 答案　4　3 6．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3. (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)求△ABC的面积． 解析　(1)△ABC同时满足①③④.理由如下： 因为cos B＝－＜－，且B∈(0，π)，所以B＞. 若△ABC同时满足①②，则A＋B＞π，显然不成立． 所以△ABC只能同时满足③④. 所以a＞b，所以A＞B，故△ABC不满足②. 故△ABC满足①③④. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即72＝32＋c2－2×3×c×. 解得c＝8或c＝－5(舍去)． 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝6. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)在△ABC中，已知c＝，A＝，a＝2，则b＝(　　) A．＋1 B． C． D．－1 解析　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋6－2b×， 即b2－2b＋2＝0， 解得b＝＋1或b＝－1. 又－2<b<＋2，∴b＝±1.故选A，D. 答案　AD 8．已知钝角三角形ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A．5 B． C．2 D．1 解析　∵钝角三角形ABC的面积为， AB＝1，BC＝， ∴＝×1××sin B，解得sin B＝， ∴B＝或B＝. 当B＝时，由余弦定理可得 AC＝＝1， 此时AB2＋AC2＝BC2， 可得A＝，为直角三角形，与题设矛盾，舍去． ∴B＝. 由余弦定理，可得 AC＝＝，故选B. 答案　B 9．在锐角△ABC中，若a＝1，b＝2，则c的取值范围是________ . 解析　在锐角△ABC中，由0＜B＜，0＜C＜，得0＜cos B＜1,0＜cos C＜1，由余弦定理的推论，得0＜＜1,0＜＜1，即0＜＜1,0＜＜1，解得＜c＜. 答案　(，) 10．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，求cos A的值． 解析　设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x， 在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝， 在△BDC中，由余弦定理得cos∠BDC＝＝， 因为∠BDC＋∠ADC＝π， 所以cos∠BDC＝－cos∠ADC， 所以＝－， 整理可得4x－2＝，解得x＝， 所以AD＝1，AC＝1， 在△ADC中，AD2＋AC2＝CD2， 所以AD⊥AC，所以A＝，所以cos A＝0. [核心素养·探索创新] 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A． (1)求角A的大小； (2)求△ABC周长的最大值． 解析　(1)∵acos B＝(2c－b)cos A， ∴a·＝(2c－b)·， 化简得c＝，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝，∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由(1)得b2＋c2－4＝bc，即4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝， ∴(b＋c)2≤16，即b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， ∴△ABC周长的最大值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $