第2章 5.2-5.3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中不正确的是(　　) A．|a|＝|b|　　　　　 B．a·b＝ C．(a－b)⊥b D．a∥b 解析　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)， 所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误； a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误； 因为a－b＝(1，－1)， 所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0， 所以(a－b)⊥b，故C正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案　ABD 2．(多选题)设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则下列说法正确的是(　　) A．b＝(，－3) B．a－b＝(0,4) C．cos〈a－b，b〉＝ D．a－b与b的夹角为150° 解析　因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0,4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°. 答案　ABD 3．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 解析　易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， 所以|c|＝＝8. 答案　D 4．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝__________ . 解析　因为向量与的夹角为120°，且||＝3，|| ＝2，所以·＝||||cos 120°＝3×2×＝－3. 由⊥，得·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝0，所以2－λ2＋(λ－1)·＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝. 答案　 5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影数量为________ . 解析　由题意得＝(2,1)，＝(5,5)， 所以·＝15， 所以向量在方向上投影数量为 ||cos〈，〉＝＝＝. 答案　 6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角为θ. 解析　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2， ∴＝2，∴x2＋y2＝20.① 由c∥a，可得2x－y＝0.② 由①②解得或 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－， ∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π. [关键能力·综合提升] 7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　由a·b＝－10， 得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝， ∴c·a＝－. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案　C 8．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，＝3，若P是BC边上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[－1,3] B． C． D． 解析　在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，＝3， 可建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，E(1,0)， 设P(x,0)，－2≤x≤2， 所以＝，＝， 所以·＝x＋. 因为－2≤x≤2， 所以·∈.故选C． 答案　C 9．已知向量a＝(1，)，b＝(0,1＋t2)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________ . 解析　a－t＝(1，)－t＝(1，)－(0，t)＝(1，－t)． ∴＝， ∴当t＝时，min＝1. 当t＝－时，max＝＝. 故所求取值范围为[1，]． 答案　[1，] 10．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)． (1)求·及在方向上的投影数量； (2)证明A，B，C三点共线，并在＝时，求λ的值； (3)求||的最小值． 解析　(1)·＝8，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝，所以在方向上的投影数量为||cos θ＝4×＝2. (2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，因为与有公共点B，所以A，B，C三点共线． 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12. 所以当λ＝时，||取到最小值2. [核心素养·探索创新] 11．已知点A(－1,0)，B(0,1)，点P(x，y)