第2章 5.1 向量的数量积（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论不正确的是(　　) A．a∥b　　　　　　　 B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析　将向量的模相等变为向量的平方相等求解． 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2， 即a·b＝0，即a⊥b.故A，C，D不正确． 答案　ACD 2．若向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 解析　由题意知a·b＝|a||b|cos＝|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6(负值舍去)． 答案　C 3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析　∵非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，∴平方得|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b， 则a·b＝0，由|a＋b|＝2|b|， 平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝4|b|2，得|a|2＝3|b|2，即|a|＝|b|，则(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝3|b|2，则向量a＋b与a的夹角θ的余弦值cos θ＝＝＝， ∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　D 4．在边长为3的等边三角形ABC中，点E满足＝2，则·＝________ . 解析　由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，则·＝2＋·＝×3×3＋×3×3×cos 60°＝6. 答案　6 5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________ . 解析　由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0， 即a·b＝－2a2， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－， 所以〈a，b〉＝. 答案　 6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数λ，使λa＋b与a－2b共线？ (3)是否存在实数μ，使μa＋b与a－2b垂直？ 解析　(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|. ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， ∴a·b＝ ＝＝＝. 又a·b＝|a||b|cos θ， ∴＝3×5×cos θ，∴cos θ＝，θ＝60°. (2)假若存在λ，使(λa＋b)∥(a－2b)， ∴存在实数k使得λa＋b＝k(a－2b)＝ka－2kb. ∴∴λ＝k＝－. ∴存在λ＝－，使得(λa＋b)∥(a－2b)， 即存在λ＝－，使得λa＋b与a－2b共线． (3)假若存在μ，使(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0. ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，∴μ＝－. ∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直． [关键能力·综合提升] 7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　 ∵AM＝1，且＝2，∴||＝. 如图，·(＋) ＝·2＝· ＝||2＝2＝. 答案　A 8．(多选题)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，下列命题正确的是(　　) A．|a＋b|＞1⇔θ∈ B．|a＋b|＞1⇔θ∈ C．|a－b|＞1⇔θ∈ D．|a－b|＞1⇔θ∈ 解析　因为|a＋b|＞1，即|a|2＋2a·b＋|b|2＞1，可得a·b＞－，即|a||b|cos θ＝cos θ＞－，故θ∈，所以A正确，B错误．因为|a－b|＞1，即|a|2－2a·b＋|b|2＞1，可得a·b＜，即|a||b|cos θ＝cos θ＜，故θ∈，所以D正确，C错误．故选A，D. 答案　AD 9．在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝________；设＝λ－(λ∈R)，且·＝4，则λ＝________ . 解析　∵＝2，∴B，D，C三点共线，∴＝＋，两边平方得||2＝||2＋||2＋2××||||cos 60°，∴＝||2＋×4＋×2×||×，解得||＝3或－7(舍去)．∵·＝4，∴·(λ－)＝4，化简整理，得－2＋2＋·＝4，∴－×9＋×4＋×3×2×cos 60°＝4，解得λ＝. 答案　3　 10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角θ的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以·＝0， 由＝2， 得＝，＝＝－. 所以·＝(＋)·(＋) ＝· ＝2－·－2 ＝