第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设k∈R，下列向量中，与向量a＝(－1,1)可能平行的向量是(　　) A．(k，k)　　　　　　 B．(－k，－k) C．(k2＋1，k2＋1) D．(k2－1，k2－1) 解析　∵(－1)×(k2＋1)≠1×(k2＋1)． 故C项不符合题意， 易知A，B，D项符合题意． 答案　ABD 2．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝(　　) A．2 B． C． D． 解析　由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)． 又与a＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，则λ＝.故选C． 答案　C 3．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　) A．2　　 B．4　　　 C．　　 D． 解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)， 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)． 因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6，2)，所以解得所以＝4.故选B. 答案　B 4．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x＝________ . 解析　u＝a＋2b＝(2,1)＋2(x，－1)＝(2x＋2，－1)， v＝2a－b＝2(2,1)－(x，－1)＝(4－x,3)， 由u∥v，知3(2x＋2)＋(4－x)＝0，解得x＝－2. 答案　－2 5．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长，取点E使＝，则点E的坐标为________ . 解析　设C(x，y)，由＝， 得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)． 即解得 即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，且＝，设E(a，b)， 则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)， 解得a＝－8，b＝－.所以E. 答案　 6．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足点P，B，D三点共线，求y的值． 解析　(1)设B(x1，y1)， 因为＝(4,3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)， 所以所以 所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)， 设BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以点M. (2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 因为P，B，D三点共线，所以∥， 所以－4＋7(1－y)＝0，所以y＝. [关键能力·综合提升] 7．在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，＝λ＋μ，则λ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 解析　以A为原点建立如图所示的直角坐标系， 设B(2,0)，C(0,2)，则F(1,1)，E(1,0)， 则＝(－2,2)，λ＋μ＝λ(1,1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)， 所以所以λ＝－.故选A． 答案　A 8．(多选题)已知O为坐标原点，A(2，－1)，B(1,2)，则(　　) A．与同方向的单位向量为 B．若＝2，则点P的坐标为 C．若a＝(1，－3)，则a∥ D．若C(1，－3)，则四边形OBAC为平行四边形 解析　＝(2，－1)，＝(1,2)，则＝－＝(－1,3)，所以与同方向的单位向量为e＝＝，故A正确； 由＝2知xP＝，yP＝，即P，故B错误； 由a＝(1，－3)，＝(－1,3)，有1×3－(－3)×(－1)＝0，则a∥，故C正确； ＝(1,2)，＝(1,2)，则有∥且||＝||，即四边形OBAC为平行四边形，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 9．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________ . 解析　过点C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 答案　 10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t. (1)若点P在第二象限，求t的取值范围； (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 解析　(1)∵＝(3,3)，∴＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点P在第二象限，则 解得－＜t＜－. 故t的取值范围是. (2)若四边形OABP为平行四边形， 则需＝，即 但此方程组