第2章 4.1 平面向量基本定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．设a，b 为平面内所有向量的一组基，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k＝(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C．10 D．－10 解析　＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b. 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ使得＝λ， 即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b. 因为a，b为基向量， 所以解得λ＝，k＝2. 答案　A 2．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 解析　因为＝3，所以－＝3(－)．所以4＝＋3. 因为＝，所以＝， 所以4＝＋， 所以4＝－＋(－)＝－2＋， 所以＝－＋，所以＝－a＋b. 答案　B 3．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝－λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ－μ＝(　　) A．－ B． C．1 D．－1 解析　因为四边形ABCD为矩形，且E为AO的中点，所以＝＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－＋，因为＝－λ＋μ(λ，μ∈R)，所以λ＝，μ＝，所以λ－μ＝－＝，故选B. 答案　B 4．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________ . 解析　如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点T. 由已知易得AB＝AT， ∴＝ ＝λ＋μ，即＝λ＋μ. ∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，即(λ＋μ)＝1.∴λ＋μ＝. 答案　 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________ . 解析　 由图知＝＋，① ＝＋，② 又＋2＝0， ∴①＋②×2，得3＝＋2， ∴＝＋，∴λ＝. 答案　 6．如图所示，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值． 解析　由矩形OACB可得＝＋，又＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝＋，因为，不共线，所以解得所以λ＋μ＝. [关键能力·综合提升] 7.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，点M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ，μ的值分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析　＝＝(＋)， 因为AH⊥BC，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，所以BH＝BC， 故＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 故λ＝，μ＝. 答案　B 8．(多选题)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则实数x的可能值为(　　) A． B．－ C．－ D．－ 解析　如图依题意，设＝λ，其中1＜λ＜， 则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. 又由＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，故选BD. 答案　BD 9.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________ . 解析　设＝a，＝b， 则＝(＋)＝a＋b，又＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b.根据平面向量基本定理得消去λ整理得m＋n＝2. 答案　2 10.已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b， (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解析　(1)∵点A为BC的中点， ∴＝(＋)，＝2a－b， ＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. (2)∵＝λ， ∴＝－＝λ－ ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b. ∵与共线， ∴存在实数m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， 即(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共线，∴解得λ＝. [核心素养·探索创新] 11．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若点N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值． 解析　(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线， 令＝λ⇒＝＋ ＝＋λ＝＋λ(－) ＝(1－λ)＋λ⇒λ＝， 所以＝，即面积之比为1∶4. (2)由＝x＋y⇒＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒ 学科网（北京）股份有限公司 $