第2章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B. 答案　B 2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析　由已知条件可知BE＝3DE， 所以DF＝AB， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 答案　A 3．(多选题)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．＝＋ B.＋＋＝0 C．＝＋ D.＝＋ 解析　因为D为BC的中点，所以＋＝2，即＝＋，故A正确； 根据题意得M为AD上靠近点D的三等分点． 对于B选项，＋＝2，因为M为AD上靠近点D的三等分点，所以＝－2，所以＋＋＝0，故B正确； 对于C选项，＝＋＝＋(－)＝＋，故C错误； 对于D选项，＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 4．下列向量中a，b共线的有________(填序号)． ①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 解析　①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb. 答案　①②③ 5．在△ABC中，4＝3＋，且＝λ，则λ＝________ . 解析　由题意得3(－)＝－⇒3＝，如简图，所以＝4，即λ＝4. 答案　4 6．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解析　(1)证明　因为＝λ＋(1－λ)， 所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ， 所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． 又与有公共点A， 所以A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ，又点B在线段AM上， 则与同向，且||＞||＞0， 所以λ＞1. [关键能力·综合提升] 7．正五角星与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且||＝||，则－＝(　　) A． B． C． D． 解析　－＝－＝＝.故选A． 答案　A 8．已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若＋＝λ，λ∈(0，＋∞)，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 解析　设＝＋，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上． 又，分别表示，方向上的单位向量，由平行四边形法则知点P也在∠A的平分线上，所以△ABC一定是等腰三角形．故选B. 答案　B 9．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 解析　设BC的中点为D，则＋＝2. 由已知条件可得M为△ABC的重心， 则＝，故＋＝3， 即m＝3. 答案　3 10．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线． 证明　＝－， 因为＝，＝＝(＋)，所以＝＋－＝－①， ＝－＝－②， 由①②可知＝3，即∥， 又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线． [核心素养·探索创新] 11．已知P是△ABC所在平面内的点，且＋2＋3＝3. (1)求证：点P在直线AB上； (2)求△PAC与△PBC的面积之比． 解析　(1)证明　因为＝－， 所以＋2＋3＝3可化为＋2＋3＝3(－)， 即2＝－4，得＝－2， 故∥，又，共起点， 所以点P在直线AB上． (2)由(1)知，点P在底边AB上，且PB＝2PA． 因为△PAC与△PBC同高， 所以△PAC与△PBC的面积之比为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $