第1章 8 三角函数的简单应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[关键能力·综合提升] 1．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值． 设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(min)，试求： (1)函数p(t)的周期； (2)此人每分钟心跳的次数； (3)此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解析　(1)T＝＝＝(min)． (2)f＝＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)． 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 2．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的位移距离s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示． (1)求这条曲线对应的函数解析式． (2)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解析　(1)设这条曲线对应的函数解析式为 s＝Asin(ωt＋φ)． 由图象可知：A＝4，周期T＝2×＝π， 所以ω＝＝2， 此时所求函数的解析式为s＝4sin(2t＋φ)． 以点为“五点法”作图的第二关键点， 则有2×＋φ＝，所以φ＝. 得函数解析式为s＝4sin. (2)当t＝0时，s＝4sin＝4sin＝4×＝2(cm)， 所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm. 3．春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y(单位：℃)随时间x(单位：h)变化近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)，且在每天凌晨2时达到最低温度－3 ℃，在下午14时达到最高温度9 ℃，从2时到14时为半个周期． (1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式． (2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0 ℃？(注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含)) 解析　(1)依题意， 解得A＝6，b＝3. 根据题意，＝14－2＝12，T＝24， 则ω＝＝. 又x＝2时，y＝－3， 则6sin＋3＝－3， 且－π＜φ≤π，解得φ＝－， 所以所求的解析式为y＝6sin＋3. (2)由y＝6sin＋3＝0，得 sin＝－， 所以x－＝2kπ－或x－＝2kπ＋，k∈Z. 由0≤x＜24，解得x＝6或x＝22，即在每天的6时或22时的气温为0 ℃. 4．受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海岸，某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是该港口在某季节每天水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看作函数y＝Asinωt＋k的图象． (1)根据以上数据，作出这些数据的散点图，求出函数y＝f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 解析　(1)散点图： 由数据知函数y＝f(t)的周期T＝12， 振幅A＝3，k＝10，∴ω＝＝， ∴y＝3sin t＋10(0≤t≤24)． (2)由题意可知，该船进出港时，水深应不小于 5＋6.5＝11.5(m)． 3sin t＋10≥11.5，即sin t≥. ∴2kπ＋≤t≤2kπ＋π，k∈Z， ∴12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z， ∴在同一天内，取k＝0或1， 此时，1≤t≤5或13≤t≤17. ∴该船最早在凌晨1时进港，5时出港，或中午13时进港，下午17时出港，最多在港口停留8小时． [核心素养·探索创新] 5．为迎接夏季旅游旺季的到来，某景点单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，工作人员想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐