第1章 7 正切函数（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝3tan的定义域是(　　) A． B. C． D. 解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 答案　C 2．函数y＝tan 2的最小正周期为(　　) A．　　　　　　　 B．π C．2π D．3π 解析　因为y＝tan 2＝tan， 所以T＝＝. 答案　A 3．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 解析　令kπ－＜π＋＜kπ＋，解得 kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然 满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确； 令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误； 正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误． 故选AB. 答案　AB 4．函数y＝tan的单调递增区间是________ . 解析　令kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z. 答案　，k∈Z 5．设Q＝tan，P＝tan，则Q与P的大小关系为__________ . 解析　因为正切函数为周期函数，所以tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan，又0＜＜＜，所以tan＜tan，即tan＜tan，故Q＜P. 答案　Q＜P 6．已知函数f(x)＝3tan . (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小． 解析　(1)∵f(x)＝3tan ＝－3tan ， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝4π. 令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)＝3tan 的单调递增区间为，k∈Z， ∴函数f(x)＝－3tan 的单调递减区间为，k∈Z. (2)f(π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f＝3tan ＝3tan ＝－3tan . ∵0＜＜＜，且y＝tan x在区间上单调递增， ∴tan ＜tan ， ∴－3tan ＞－3tan ，即f(π)＞f. [关键能力·综合提升] 7．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是(　　) ①在区间上单调递减； ②最小正周期为2π； ③是奇函数． A．y＝tan x B．y＝cos x C．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin 2x 解析　A．函数y＝tan x在区间上单调递增，不满足条件①. B．函数y＝cos x是偶函数，不满足条件③. C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin x，满足三个条件． D．函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，不满足条件②. 答案　C 8．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．sin 145°＜tan 47° B．函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 C．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) D．y＝tan x在第一、四象限是增函数 解析　A正确，sin 145°＝sin 35°＜1，tan 47°＞1， 故sin 145°＜tan 47°； B错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为； C正确，∵≤x＜， ∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2； D错误，y＝tan x在每一个区间，k∈Z上单调递增，但不能说在第一、四象限是增函数．故选AC． 答案　AC 9．已知函数f(x)＝Atan (ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________ . 解析　由图象可知：T＝2＝， ∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜， ∴φ＝.又f(0)＝1，∴Atan ＝1，得A＝1， ∴f(x)＝tan ， ∴f＝tan ＝tan ＝. 答案　 10．函数f(x)＝tan(3x＋φ)的图象的一个对称中心是，其中0＜φ＜，试求函数f(x)的单调区间． 解析　由于y＝tan x的对称中心为，k∈Z，故令3x＋φ＝，其中x＝，即φ＝－，k∈Z，由于0＜φ＜，所以当k＝2时，φ＝.故f(x)＝tan. 由于正切函数y＝tan x在区间，k∈Z上单调递增，则令kπ－＜3x＋＜kπ＋，解得π－＜x＜＋，k∈Z.故函数的单调递增区间为，k∈Z. [核心素养·探索创新] 11．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由． 解析　y＝tan＝tan， ∵y＝tan x在区间，k∈Z上单调递增，∴a＜0， 又x∈，∴－ax∈， ∴－ax∈， ∴ 解得－－≤a≤6－8k，k∈Z. 由－－＝6－8k，得k＝1，此时－2≤a≤－2. ∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $