第1章 1 周期变化（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．若f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，且f(1)＝2，则f(5)的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析　∵f(x＋2)＝f(x)，∴2是f(x)的周期， ∴f(5)＝f(1)＝2.故选C． 答案　C 2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1]时，f(x)＝则f的值为(　　) A．－1 B．－ C． D． 解析　∵2是f(x)的周期， ∴f＝f＝f， ∴f＝－2＝－.故选B. 答案　B 3．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝(　　) A． B． C．2 D．4 解析　由题意知，定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则有f(x＋2)·f(x＋4)＝13，联立解得f(x)＝f(x＋4)，则得函数f(x)为周期函数且周期为4.因为f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)；又f(1)＝2，则由f(1)·f(3)＝13，解得f(3)＝，所以可得f(99)＝.故选A． 答案　A 4．函数f(x)＝(－1)[x]的周期为________ . 解析　画出f(x)的图象知f(x)的周期为2. 答案　2 5．当x∈N时，函数y＝2＋(－1)x的周期为________ . 解析　当x∈N时，函数的取值依次为3,1,3,1，…，故函数的周期为2. 答案　2 6．如图为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？ (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从点A算起呢？ 解析　(1)由图象易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次． (2)如果从点O算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动．如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动． [关键能力·综合提升] 7．偶函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵f(x)的图象关于x＝2对称， ∴f(x)＝f(4－x)，即f(4＋x)＝f(－x)． 又f(x)为偶函数，∴f(4＋x)＝f(x)， ∴4是f(x)的周期，∴f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.故选C． 答案　C 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析　由函数f(x)是奇函数且f(x)在区间[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在区间[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．所以D正确．故选D. 答案　D 9．已知f(x＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x(x＋1)，则f的值为________ . 解析　f＝f＝f＝－f＝－f ＝－＝－. 答案　－ 10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． 解析　(1)证明　由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f ＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且周期为3. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. [核心素养·探索创新] 11．若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，求(k)的值． 解析　令y＝1，得 f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)， f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)， 消去f(x＋2)和f(x＋1)，得到 f(x＋3)＝－f(x)， 故f(x)周期为6； 令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒ f(0)＝2， f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝