第一章 三角函数 章末整合提升（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

一、任意角三角函数、诱导公式 1．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应． 2．诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题．熟练掌握诱导公式，准确确定符号，才能准确无误解决此类问题． [典题1]　(1)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________ . [解析]　因为cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， 所以cos＋sin＝0. [答案]　0 (2)已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)． ①若m＝2，求5sin α＋3tan α的值； ②若cos α≤0，且sin α>0，求实数m的取值范围． [解析]　①若m＝2，则P(－3,4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－， 故5sin α＋3tan α＝5×＋3×＝4－4＝0. ②由题意知，cos α＝≤0，sin α＝>0， 即x≤0，y>0， 所以所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2,3]． (3)化简：. [解析]　原式＝ ＝ ＝＝－ ＝－1. 二、三角函数的图象及变换 1．“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线. 2．函数y＝sin x的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，法则是针对自变量x和因变量y，左加右减，上加下减．途径是相位变换φ(φ≠0)→周期交换ω(ω＞0)→振幅变换A(A＞0)和周期变换ω(ω＞0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A＞0)．注意二者平移量的不同． [典题2]　(1)将函数f(x)＝sin的图象向右平移a(a＞0)个单位长度得到函数g(x)＝cos的图象，则a的值可以为(　　) A．　　　　　　　　B. C． D． (2)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表. ωx＋φ 0 π 2π x ________ ________ ________ Asin(ωx＋φ) 0 5 ________ －5 0 ①请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； ②将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心． [解析]　(1)由题意知，g(x)＝cos＝sin，其图象向左平移a个单位得到函数f(x)＝sin，而函数f(x)＝sin，所以有2a＋＝＋2kπ，则a＝－＋kπ，k∈Z.取k＝1，得a＝.故选C． (2)①根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－. 数据补全如下表. ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 函数解析式为f(x)＝5sin. ②由①知，f(x)＝5sin， 因此g(x)＝5sin ＝5sin. y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z. 即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z. 其中离原点O最近的对称中心为. [答案]　(1)C　(2)见解析 三、三角函数的性质及其应用 1．三角函数的两条性质 (1)周期性：函数y＝Asin (ωx＋φ)和y＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. (2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式． 2．求三角函数的单调区间的方法 求形如y＝Asin (ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 3．三角函数图象的对称性 求形如y＝Acos (ωx＋φ)图象的对称轴，可把“ωx＋φ”看作一个整体，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求x可得对称轴方程，类似通过ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求对称中心的横坐标． 4．三角函数的最值(值域)问题 三角函数的值域和最值问题一直是高考的热点．求三角函数的最值问题通常有以下两种途径： (1)将所求三角函数式转化为y＝Asin (ωx＋φ)＋k或y＝Acos (ωx＋φ)＋k的形式，然后结合角x的取值范围求最值； (2)将所求三角函数式变形转化为关于sin x(或cos x