第二章 平面向量及其应用 章末整合提升（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

一、平面向量的运算题点多探　多维探究 角度1　向量的线性运算 1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解要注意大小、方向两个方面． 2．题型主要为以下两大类 (1)几何、字母表示下的运算．包括线性运算法则及几何意义；向量式的运算、化简；向量的表示；证明三点共线、两线段平行；证明线段相等；求点或向量的坐标等内容的考查．此类问题更注重考查的是数形结合思想的应用． (2)坐标表示下的运算．此类问题考查内容与第一类相同，但更加注重考查将向量问题向代数问题转化的能力． [典题1]　(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________ . (2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________；y＝________ . [解析]　(1)因为λa＋b与a＋2b平行， 所以λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb， 又a，b不共线， 所以解得 (2)因为＝2，所以＝. 因为＝，所以＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y，，不共线， 所以x＝，y＝－. [答案]　(1)　(2)　－ 角度2　向量数量积的运算 向量数量积的求解策略 1．利用数量积的定义、运算律求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 2．借助零向量 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 3．借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，a·b＝0等解决问题． 4．建立坐标系，利用坐标运算求解数量积 [典题2]　(1)设向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　) A．20 B．15 C．9 D．6 [解析]　(1)c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)， 又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)如图所示，由题设知： ＝＋＝＋， ＝－＝－， ∴·＝· ＝||2－||2＋·－· ＝×36－×16＝9. [答案]　(1)A　(2)C 二、向量的平行、垂直、夹角、模的问题 1．证明共线问题常用的方法 (1)向量a，b(b≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使a＝λb. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线⇔x1y2－x2y1＝0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 3．解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a|＝(其中a＝(x，y))． (2)应用三角形或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2. 4．求向量的夹角 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝. [典题3]　(1)已知|a|＝|b|＝1，a＋b＝，则|a－b|＝________ . (2)已知非零向量a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求： ①a与b的夹角； ②b与a－b的夹角． [解析]　(1)由|a＋b|2＋|a－b|2＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)＝2(|a|2＋|b|2)， 可知2＋2＋|a－b|2＝4， 解得|a－b|2＝2，即|a－b|＝. (2)①设＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图， 由|a|＝|b|＝|a＋b|知，▱OACB是菱形，且△OAC与△OBC都是正三角形，则∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°， 所以a与b的夹角为120°. ②因为∠AOB＝120°，所以∠OAB＝∠OBA＝30°， 又＝a－b，所以与的夹角为180°－30°＝150°， 所以b与a－b的夹角为150°. [答案]　(1)　(2)略 三、用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法 1．已知两角和一边．如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. 2．已知两边和这两边的夹角．如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对