第二章 平面向量及其应用 单元测试（B卷）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

( 第二章 平面向量及其应用（ B 卷） ) 分值：150 分 时间：120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知非共线向量、,,,,则下列说法正确的是(      ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 2．在中,点D在边AB上,.记,,则(      ) A. B. C. D. 3．已知两个不共线的向量,,且,,,若A,B,D三点共线,则的值为(      ) A. B. C. D. 4．在下列向量组中,可以把向量表示出来的是(   ) A., B., C., D., 5．在中，为边上的中线，E为的中点，则(      ) A. B. C. D. 6．在平行四边形ABCD中,和DF交于点O,若,,则(      ) A. B. C. D. 7．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从阿A地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要多长时间(      )（单位：） A. B. C.6 D.12 8．古希腊数学家托勒密在他的著作《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为(      ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量是同一平面内的两个向量,则下列结论正确的是(      ) A.若存在实数,使得,则与共线 B.若与共线,则存在实数,使得 C.若与不共线,则对平面内的任一向量,均存在实数,使得 D.若对平面内的任一向量,均存在实数,使得,则与不共线 10．已知向量和均不共线,且,则向量可以是(      ) A. B. C. D. 11．已知是所在平面内一点，，，，则下列说法正确的是(      ) A.外接圆的半径为 B.内切圆的半径为 C.若O是的外心，则在上的投影向量为 D.若O是的垂心，则在上的投影向量为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，已知，，，则______. 13．已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为________________. 14．如图,在中,P为线段AB上一点,则,若,,,且与的夹角为,则的值为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．（13分）在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的面积S. 16．（15分）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足. (1)求角A的大小； (2)若,的面积为,求的周长. 17．（15分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. （1）求角A的大小; （2）若,的面积,求b的值. 18．（17分）如图,在中,点P满足,O是线段的中点,过点O的直线与边分别交于点. (1)若,求的值； (2)若,求的最小值. 19．（17分）在中,角的对边分别为,,,. （1）求a; （2）若为上一点,且,求. 参考答案 1．答案：A 解析：由题可得,, 对于A,,所以三点共线,故A正确； 对于B,若三点共线,则存在实数,使得,则,无解,所以三点不共线,故B错误； 对于C,若三点共线,则存在实数,使得,则,无解,所以三点不共线,故C错误； 对于D,若三点共线,则存在实数,使得,则,无解,所以三点不共线,故D错误. 故选：A. 2．答案：B 解析：解因为点D在边AB上,,所以, 即,所以. 故选：B. 3．答案：D 解析：由,,, 所以, 因为A,B,D三点共线,所以存在实数,使得, 则, 因为向量,不共线, 所以,解得:, 故选:D 4．答案：B 解析：根据, 选项A：,则,无解,故选项A不能； 选项B：,则,解得,,故选项B能. 选项C：,则,无解,故选项C不能. 选项D：,则,无解,故选项D不能. 故选：B. 5．答案：A 解析：根据向量的运算法则，可得 所以，故选A. 6．答案：B 解析：设的中点为G,连接, 因为,所以F是的中点,所以,且, 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以,且, 所以 又因为, 所以,因为, 所以,所以, 因为, 所以, 所以 . 故选:B. 7．答案：D 解析：设点B是长江对岸一点，与江岸垂直， 当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. . 则航行时间为.选D 8．答案：C 解析：由题意知，则，所以，即. 设，，又，由题意得，所以，故，又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为.故选C. 9．答案：ACD 解析：根据平面向量共线的知识可知A选项正确. 对于B选项,若与共线,可能,当为非零向量时,不存在实数,使得,所以B选项错误. 根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确. 故选：ACD. 10．答案：AC 解析：由题意得,不共线. A.,不共线,A正确. B.,,故为共线向量,B错误. C.,不共线,C正确. D.,,故为共线向量,D错误. 故选:AC. 11．答案：ACD 解析：对于A，在中，，则， 由余弦定理得，即， 设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，则，A正确； 对于B，的面积为，设内切圆的半径为r，则，解得，B错误；对于C，若O为的外心，结合投影向量定义可得在上的投影向量为，C正确； 对于D，，若O为的垂心，则在上的投影向量为，D正确. 故选ACD. 12．答案： 解析：由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 13．答案： 解析： 14．答案： 解析：因为,所以, 所以 , 即, 故答案为：. 15．答案：(1) (2) 解析：（1）由正弦定理知 . ，，， ，，. （2）法一：由（1）知， ，. ，， . 法二：由（1）知， ， . 由正弦定理可得. . 16．答案：(1) (2)6 解析：(1)由正弦定理可得, 则, 在中,,则且, 所以,即,所以； (2)因为,所以, 由余弦定理可得, 则,解得, 所以,即的周长6. 17．答案：（1） （2） 解析：（1）由已知得,且三角形边长大于零,则, 又由正弦定理（R为外接圆半径）, 所以,而在中, 所以, 即,整理得, 又,所以,则,所以. （2）由已知,,则, 由三角形的面积公式,已知,, 则,即. 又由正弦定理,可得, 而,, 所以, 解得或（边长不能为负,舍去）, 所以. 18．答案：(1) (2) 解析：(1)因为, 所以 因为O是线段的中点,所以, 设,则有, 因为三点共线,所以,解得,即, 所以,所以. (2)因为,同理可得, 由(1)可知,,所以, 因为三点共线,所以,即, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为. 19．答案：（1） （2） 解析：（1）中,, 由余弦定理得:,即, 解得. （2）在中,, 由余弦定理得:. 在中,,由余弦定理得:. 即,得. 又,所以. 故. 数学·B卷 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $