第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例 学业标准 素养目标 　　经历用向量方法解决某些简单的平面几何、物理中的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何、物理问题的重要工具．(重、难点) 　　向量作为一种工具，可以解决平面几何中的平行、垂直、点共线等问题，物理中力的合成与分解、力做功等问题，主要培养数学建模、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量在平面几何中的应用 　平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②直线平行或共线问题；③夹角或垂直等问题．对于上述问题，用向量方法如何解决？ [提示]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0且b≠0)． ①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝； ②线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. ③夹角公式cos θ＝；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ◎结论形成 由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一些问题． 导学2　向量在物理中的应用举例 　向量加法的平行四边形法则、三角形法则、数量积的物理模型分别是什么？ [提示]　向量加法的平行四边形的物理模型是力(速度)的合成与分解；向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成；向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功． ◎结论形成 既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题的有力工具． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　) (3)物理学中的功是一个向量．(　　) (4)物理学中的动量是一个向量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2)　　　　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析　由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0， 故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 答案　D 3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　∵＝－＝， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又·＝0，即AC⊥BD， 故▱ABCD是菱形，故选D. 答案　D 4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s. 解析　 设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s. 答案　5 题型一　用向量法解决平面几何中的平行或共线等问题 　如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. [自主解答]　证明　因为⊥，⊥，所以∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ. 同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， 所以∥，即HG∥EF. [规律方法] (1)证明线段相等．通过向量运算，证明||2＝||2，即可证明AB＝CD. (2)证明直线平行．利用＝λ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，特别地，当λ＝1时，AB綊CD. (3)证明三点共线．利用＝λ(λ∈R)可以证明A，B，C，三点共线，也可变形为＝x＋y(x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为直线AB外一点． [触类旁通] 1．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线． 证明　∵D为MC的中点，且D为AB的中点， ∴＝＋. ∴＝－＝. 同理可证明＝－＝. ∴＝－. ∴，共线，又与有公共点A． ∴M，A，N三点共线． 题型二　用向量法解决平面几何中垂直、夹角等问题 　已知矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小． [自主解答]　如图，建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，C(，1)，E，＝(，1)， ＝，·＝2. cos∠EAC＝＝＝. ∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝. [母题变式] 　本例中，条件不变，问：在BC上是否存在点M，使得∠EAM＝45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 解析　假设在BC上存在点M，使得∠EAM＝45°，不妨设M(，