第2章 6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 学业标准 素养目标 1．理解并正确使用仰角、俯角、方向角等测量中常用名称、术语．(难点) 2．能够运用正、余弦定理解决与距离、高度、角度等有关的实际问题．(重点) 1．通过常用测量概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过应用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　实际测量中的有关名称、术语 　方向角的表示方法． 如图所示，图①中的m°角描述为________，图②的n°角描述为________ . [提示]　北偏西m°　南偏东n° ◎结论形成 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　) (2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　　) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (4)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2. 如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得点A的仰角分别是60°，30°，则点A离地面的高度AB等于(　　) A．50 m　　　　 B．100 m C．50 m D．100 m 解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形． 所以AC＝DC＝100 m， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50 m. 答案　A 3．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A．(＋)n mile/h B.(－)n mile/h C．(＋)n mile/h D.(－)n mile/h 解析　 如图所示，设货轮航行到了点A，可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为x n mile/h，则AM＝3x，在△AMS中，由正弦定理＝，得＝，所以x＝(－)． 答案　B 4．在高出海平面200 m的小岛顶点A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m. 解析　过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m. 故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m. 答案　200(＋1) 题型一　测量距离问题 　 某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地的距离．如图，现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°.假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A，B距离的倍，则施工单位至少应该准备多长的电线？ [自主解答]　在△ACD中， 由已知可得，∠CAD＝30°， 所以AC＝CD＝ km. 在△CBD中，由已知可得， ∠CBD＝60°，sin 75°＝， 由正弦定理可得，BC＝＝， cos 75°＝， 在△ABC中，由余弦定理可得， AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠BCA＝5， 所以AB＝(km)． 因此施工单位至少应该准备的电线长为 km. [规律方法] 测量距离问题的解题思路 测量距离问题一般分为三种类型：两点间不可达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数字模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中． [触类旁通] 1. 如图，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，方位角∠NBA＝110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是(　　) A．10 km　　　　　 B．10 km C．10(－) km D．10(＋) km 解析　在△ABC中根据题意