第2章 6.1 第2课时 正弦定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

第2课时　正弦定理 学业标准 素养目标 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．(难点) 2．会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 3．能综合应用正、余弦定理解三角形．(重点) 1．通过正弦定理的推导过程(特殊到一般)，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过综合应用正、余弦定理解三角形，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　正弦定理 　已知△ABC，设其三个内角分别为A，B，C，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)当△ABC是直角三角形时，＝＝是否成立？ (2)当△ABC是一般的钝角三角形时，＝＝是否成立？ [提示]　(1)成立，不妨设C＝90°，则sin A＝，sin B＝，sin C＝1＝，所以＝＝成立． (2) 成立，如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则sin B＝，且sin(π－∠ACB)＝＝sin∠ACB.可得＝＝. 　在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？ [提示]　 在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′， 所以sin C＝sin B′＝. 所以＝2R. 同理，可得＝2R，＝2R. 所以＝＝＝2R. 故是该三角形外接圆的直径． ◎结论形成 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝　　＝　　＝__2R__(R为该三角形外接圆半径) 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2R__sin_A__，b＝2R__sin_B__，c＝2R__sin_C__； (2)sin A＝，sin B＝　　，sin C＝； (3)a∶b∶c＝__sin_A∶sin_B∶sin_C__； (4)＝　　＝__2R__ . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于解锐角三角形．(　　) (2)在△ABC中，已知C＝60°，a＝1，b＝3，可用正弦定理解此三角形．(　　) (3)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；反之，若A＞B，则sin A＞sin B．(　　) (4)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　 B．2　　　C．　　　D. 解析　由正弦定理，得＝， 所以AC＝＝＝2.故选B. 答案　B 3．△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A等于(　　) A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30° 解析　因为a＝，b＝2，B＝45°，所以＝，可得sin A＝sin 45°＝， 又a<b，可得A<B，所以∠A＝30°.故选D. 答案　D 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________ . 解析　在△ABC中，由正弦定理，有＝， 所以sin C＝＝， 所以C＝30°或150°(舍去)． 所以A＝30°，所以a＝c＝. 答案　 题型一　已知两角和一边解三角形 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________ . [自主解答]　因为sin B＝且B∈(0，π)， 所以B＝或B＝，又C＝， 所以B＝，A＝π－B－C＝，又a＝， 由正弦定理得＝， 即＝.解得b＝1. [答案]　1 [规律方法] 已知两角及一边解三角形的一般步骤 [触类旁通] 1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________ . 解析　由题意，因为B＝45°，C＝60°，所以A＝180°－B－C＝75°，最短边为b，由正弦定理， 得b＝＝＝. 答案　 题型二　已知两边及一边的对角解三角形一题多变 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________ . [自主解答]　依题意，由正弦定理知＝， 得出sin B＝.∵b>a，∴B>， 所以B＝或. [答案]　或 [母题变式] 1．若本例条件不变，求边长c. 解析　由本例(1)解析知B＝或， 当B＝时，C＝π－－＝， 所以c＝＝＝2. 当B＝时，C＝π－－＝.故c＝a＝1. 答案　1或2 2．本例变为：在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝________ . 解析　∵在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4， ∴由＝，得sin B＝.又a＝4>b＝4，∴60