第2章 6.1 第1课时 余弦定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§6　平面向量的应用 6．1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 学业标准 素养目标 1．掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法．(难点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 1．通过向量法推导余弦定理，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过运用余弦定理解三角形，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　余弦定理 　在△ABC中，如果已知边a，b和角C(如图)，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量如何用已知边所对应的向量表示？如何求出||？边c的长度用边a，b和角C如何表示？ [提示]　边c的长度可视为||；＝－，则||2＝||2＋||2－2·，即c2＝a2＋b2－2abcos C． ◎结论形成 余弦定理及其变形 文字 表述 三角形任何一边的平方等于__其他两边的平方和__减去这两边与它们__夹角余弦的积__的两倍 公式 表达 a2＝__b2＋c2－2bccos_A__， b2＝__a2＋c2－2accos_B__， c2＝__a2＋b2－2abcos_C__ 变形 cos A＝　　， cos B＝　　， cos C＝　　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为(　　) A．90°　　　　　　　 B．120° C．135° D．150° 解析　设边长为5,7,8的对角分别为A，B，C， 则A＜B＜C． 由题意cos B＝＝. 所以cos(A＋C)＝－cos B＝－， 所以A＋C＝120°. 答案　B 3．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C＝(　　) A．30° B．45° C．150° D．135° 解析　在△ABC中，由于已知a2＋b2＝c2＋ab， 则由余弦定理可得cos C＝＝＝，所以C＝45°，故选B. 答案　B 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是________________________________________________________________________； (2)若a2＝b2＋c2，则角A的值是________________________________________________________________________； (3)若a2＞b2＋c2，则角A的取值范围是________________________________________________________________________． 解析　由余弦定理cos A＝可得 (1)cos A＞0，即0＜A＜. (2)cos A＝0，即A＝. (3)cos A＜0，即＜A＜π. 答案　(1)　(2)　(3) 题型一　已知两边及一角解三角形 　(1)在△ABC中， ①已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； ②已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. [自主解答]　(1)①由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，所以b＝2. 由cos A＝， 得cos A＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. ②由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. (2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15, 由解得或 [素养聚焦] 在运用余弦定理解三角形的过程中，突出培养数学运算等核心素养． [规律方法] 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． [触类旁通] 1．在△ABC中，已知C＝60°，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB的长度为________ . 解析　因为a，b