第2章 5.2-5.3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

5．2　向量数量积的坐标表示 5．3　利用数量积计算长度与角度 学业标准 素养目标 1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．(重点) 2．会利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直等问题．(难点) 1．通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过数量积的坐标运算及应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　向量数量积的坐标表示 　已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？ (2)能用a，b的坐标表示a·b吗？ [提示]　(1)a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2)a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. ◎结论形成 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__ . 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__ . 3．四个重要公式 (1)向量模长公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝　　 . (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　 . (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝　　 . (4)点到直线的距离的向量表示 已知定点A和向量，点P是直线AB外一点，若n⊥，则点P到直线AB的距离的向量表示d＝　　 . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则〈a，b〉＝0°.(　　) (2)若a＝(m,0)，则|a|＝m.(　　) (3)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a1b1＋a2b2＜0，则〈a，b〉为钝角．(　　) (4)若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．120° 解析　由题意得cos∠ABC＝ ＝＝， 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 答案　A 3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝(　　) A．－ B．－1 C． D．1 解析　∵(－t)⊥， ∴(－t)·＝0， ∴·－t||2＝0， ∵点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)， ∴＝(－3，－1)，＝(2，－1)， ∴·＝－6＋1＝－5，||2＝22＋(－1)2＝5，∴－5－5t＝0， 解得t＝－1，故选B. 答案　B 4．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________ . 解析　由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝. 答案　 题型一　向量数量积的坐标运算 　(1)已知a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　 　 B．3＋　 　C．28　　 　D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝________ . (3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·＝________ . [自主解答]　(1)a2－(a－b)·b ＝a2－a·b＋b2 ＝25－(－4＋6)＋5＝28.故选C． (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)， 得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. (3)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)． 设F(t,2)，(0＜t≤)， 由·＝得t＝， ∴t＝1，即F(1,2)， ∴＝(1－，2)，＝(，1)， 即·＝－2＋2＝. [答案]　(1)C　(2)5　(3) [规律方法] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解． [触类旁通] 1．已知向量a