第2章 5.1 向量的数量积（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 学业标准 素养目标 1．了解向量数量积的物理意义． 2．掌握向量的数量积、投影的定义，理解数量积的几何意义．(难点) 3．会用数量积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题．(重点) 1．通过向量数量积、投影的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数量积的运算律、性质的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的数量积的定义 　如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N，则力F做的功是多少？ [提示]　3×5×cos 30°＝(J)． ◎结论形成 向量数量积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量　|a||b|cos θ　称为向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作　a·b　，即　a·b＝|a||b|cos θ　 规定 零向量与任一向量的数量积为__0__ [点睛]　两向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b或ab的形式． 导学2　投影及数量积的几何意义 　在平面直角坐标系中，过点A(1,1)，点B(3，2)向x轴引垂线，垂足分别为A1，B1，则向量在x轴方向上的投影向量及投影数量分别是什么？ [提示]　；||＝2. ◎结论形成 1．投影向量、投影数量 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量．　|a|cos〈a，b〉　称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为　a·　 . 2．向量数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量　|a|cos θ　的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量　|b|cos θ　的乘积． 导学3　数量积的运算性质 　若a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，则a＝c正确吗？ [提示]　 不正确．因为a·b＝c·b表示向量a，c在b上投影的数量相等，如图并不能说明a＝c. ◎结论形成 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝　b·a　； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝　(λa)·b　＝　a·(λb)　； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　 . 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝　e·a　＝　|a|cos〈a，e〉　； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔　a⊥b　； (3)a·a＝　|a|2　，即|a|＝　　； (4)cos〈a，b〉＝　(|a||b|≠0)　； (5)|a·b|≤　|a||b|　，当且仅当a∥b时等号成立． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量．(　　) (2)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(　　) (4)a在b方向上的投影向量就是a在b方向上的投影数量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．0 解析　因为|a|＝1，a·b＝－1， 所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B. 答案　B 3．若|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则b在a上的投影数量为________，a在b上的投影数量为________． 解析　|b|cos 〈a，b〉＝4×＝－2，|a|cos 〈a，b〉＝－4. 答案　－2　－4 4．在边长为2的等边三角形ABC中，·＝__________ . 解析　·＝2×2×cos 〈，〉 ＝4×cos 120°＝－2. 答案　－2 题型一　向量的数量积、投影数量 　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： ①a·b；②a2－b2；③(2a－b)·(a＋3b)． (2)如图所示，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： ①·；②·； ③·；④在上的投影数量． [自主解答]　(1)①a·b＝|a||b|cos 120° ＝2×3×＝－3. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27＝－34. (2)①因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为∥，且方向相反， 所以与的夹角是180°， 所以·＝||||cos 180° ＝4×4×(－1)＝－16. ③因为与的夹角为6