第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

4．2　平面向量及运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量运算的坐标表示．(重点) 2．掌握向量平行的坐标表示，并能解决有关平行、点共线等问题．(难点) 1．通过平面向量的坐标运算，提升数学运算等核心素养． 2．通过向量平行的坐标表示的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　平面向量的坐标表示 　 如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ [提示]　(1)a＝rcos θ·i＋rsin θ·j. (2)(rcos θ，rsin θ)． ◎结论形成 向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为__标准正交__基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.即a＝xi＋yj. 我们把__(x，y)__称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为　a＝(x，y)　 . [点睛]　 对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的方向． 导学2　平面向量运算的坐标表示 　在基{i，j}下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R)． (1)计算a＋b，a－b,2a； (2)若{i，j}是标准正交基，则a＋b，a－b,2a的坐标是什么？ [提示]　(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j,2a＝2x1i＋2y1j. (2)(x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1,2y1)． ◎结论形成 平面向量运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 名称 文字描述 符号表示 加法 与减法 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和与差__ a±b＝__(x1±x2，y1±y2)__ 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa＝__(λx1，λy1)__ 重要 结论 1.一个向量的坐标等于其__终点__的坐标减去__起点__的坐标． 2．中点坐标公式 1.若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__ . 2．线段AB的中点M(x，y)的坐标：x＝　　，y＝ 导学3　平面向量平行的坐标表示 　若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ [提示]　a＝λb(λ∈R)． 　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(λ∈R)． ◎结论形成 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a∥b(b≠0)⇔__x1y2－x2y1＝0__ . [拓展]　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb(λ∈R)，这是几何运算，体现了a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需引入参数“λ”，从而减少未知数的个数． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知点A(0,1)，点B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析　设C(x，y)，则＝(x，y－1)， 又＝(－4，－3)，∴即 ∴C(－4，－2)，∴＝(－7，－4)． 答案　A 3．若a＝(x－2,5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝________，y＝________ . 解析　∵a＝b，∴即 答案　1　3 4．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 题型一　向量的坐标运算 　(1)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A．　　　　 B． C． D．(8,1) (2)已知点A(2