第2章 4.1 平面向量基本定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1．理解平面向量基本定理，了解向量的基、正交基的含义．(难点) 2．会用平面向量基本定理解决相关问题．(重点) 1．通过学习平面向量基本定理及基、正交基、正交分解的含义．培养数学抽象等核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升直观想象等核心素养. [教材梳理] 导学　平面向量基本定理 　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ [提示]　能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 　如果e1，e2是两个共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． ◎结论形成 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1和e2是同一平面内两个__不共线__的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在__唯一__的一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　 . (2)基：我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组__基__，记为　{e1，e2}　 . 2．正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为__正交基__ .在正交基下向量的线性表示称为__正交分解__ .若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为__标准正交基__ . [点睛]　平面向量基本定理的理解 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组基． (2)平面内的任一向量a都可以沿基{e1，e2}进行分解． (3)基{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基．(　　) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　) (4)基向量可以是零向量．(　　) 提示　(1)×.根据基的概念可知，同一平面内两个不共线的向量都可以作为该平面内向量的基． (2)√.根据平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以由向量e1，e2线性表示． (3)×.当e1与e2共线时，结论不一定成立． (4)×.基向量是不共线的，一定是非零向量． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基{e1，e2}表示为(　　) A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析　由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ. 又2＝x＋y， ∴消去λ，得x＋y＝2. 答案　A 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy＝________ . 解析　∵a∥b，∴a＝λb，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2，∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 题型一　对平面向量基本定理的理解 　(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [自主解答]　根据平面向量基本定理，选项A正确；选项B不正确；若λ2＝μ2＝0时，λ的值可能不存在，故选项C不正确；选项D显然正确．故选B，C． [答案]　BC [规律方法] 两个向量是否能构成基，主要看两个向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来． [触类旁通] 1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基． 答案　B 题型二　用一组基表