第2章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 学业标准 素养目标 1．掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题．(重点) 2．理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用．(难点) 1．通过共线向量基本定理的应用，提升数学运算等核心素养． 2．通过直线的方向向量的简单应用，培养直观想象等核心素养. [教材梳理] 导学　共线向量基本定理、直线的方向向量 　若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ [提示]　λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，一定存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 　能否用向量来刻画直线呢？ [提示]　能．需知一个点和一个非零向量a. ◎结论形成 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个__非零__向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是　存在唯一一个实数λ，使a＝λb　 . [拓展]　(1)定理中b是非零向量，否则λ的值可能不唯一或不存在． (2)b是非零向量，a可以是0，这时0＝λb，所以有λ＝0.如果a不是0，那么λ是不为零的实数．即λ＝±. 2．直线的方向向量 如图，通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　　) (2)若a∥b，则存在不全为零的实数λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0.(　　) (3)若a与b不共线，则不存在实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.(　　) (4)若a与b不共线，则λ1a＋λ2b＝0是λ1＝λ2＝0的充要条件．(　　) 提示　当a＝b＝0时，对于任意实数λ，均有a＝λb成立，故(1)错误；当a是非零向量时，存在唯一的实数λ，使b＝λa，即λa－b＝0，所以存在不全为零的实数λ1＝λ和λ2＝－1，使λ1a＋λ2b＝0；当a＝0时，对于非零任意实数λ1，λ2＝0，满足λ1a＋λ2b＝0，所以存在不全为零的实数λ1和λ2，故(2)正确．若a与b不共线，则a，b都是非零向量，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0，且λ1a＋λ2b＝0是λ1＝λ2＝0的充分必要条件，故(3)错误，(4)正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D　　　 B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 解析　因为＝＋＝2a＋4b＝2， 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线．故选C． 答案　C 3．若＝3，则直线AB与直线CD的位置关系为__________ . 解析　由题设知与为共线向量． 答案　重合或平行 4．点R在线段PQ上，且＝，设＝λ(λ∈R)，则λ＝________ . 解析　由＝，可知5＝3(－)， 故＝－，即λ＝－. 答案　－ 题型一　向量平行及三点共线问题一题多变 　(1)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2. 求证：A，B，D三点共线． (2)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2(k∈R)，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，是否存在k值，使与方向相同？ [自主解答]　(1)证明　因为＝＋＋ ＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2) ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)， 又＝2e1＋3e2，所以＝6. 所以与共线． 又因为AB，AD有公共点A， 所以A，B，D三点共线． (2)＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， 假设存在k，使与方向相同． 即存在λ(λ＞0)使＝λ. 所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， 所以所以k＝－8＜0. 故存在k值，使与方向相同，此时＝2. [母题变式] 本例(1)变为：已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，判断A，B，D三点是否共线，并求的值． 解析　∵＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2. 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2，∴∥. ∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线，＝2. [素养聚焦] 本题主要考查共线向量基本定理的应用，突出考查数学运算等核心素养． [规律方法] (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共交点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． [触类旁通] 1．设点O是直线AB外一点． 求证：P，A，B三点共线的充要条件是∃x，y∈R，使＝x＋y且x＋y＝1