第1章 8 三角函数的简单应用（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§8　三角函数的简单应用 学业标准 素养目标 1．体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型．(难点) 2．会用三角函数模型解决研究简单的实际问题．(重点) 1．通过研究周期现象的实际问题，培养数学建模等核心素养． 2．通过三角函数模型的实际应用，提升数据分析、数学运算等核心素养. 题型一　生活中具有周期现象的建模问题 　下面是一份某市提供的月平均气温统计表，其中x(单位：月)表示时间，t(单位：℃)表示平均气温： x(月份) t(气温) 1 17.3 2 17.9 3 17.3 4 15.8 5 13.7 6 11.6 7 10.06 8 9.5 9 10.06 10 11.6 11 13.7 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为该市的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，该市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定该市的最佳旅游时间． [自主解答]　(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数， 依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acos (ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A＝＝4.2， k＝＝13.7. 显然＝12，故ω＝. 又当x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0， 得φ＝－ωx＝－×2＝－. 所以t＝4.2cos ＋13.7为该市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)． 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是该市的最佳旅游时间． [规律方法] 构建三角函数模型的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． [触类旁通] 1. 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离y(单位：米)将随时间t(单位：分钟)的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(单位：米)与时间t(单位：分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解析　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝. 所以函数关系式为y＝40.5－40cost(t≥0)． (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－， 所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8. 所以当t＝8时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20分钟． 题型二　物理中具有周期现象的建模问题 　已知电流I＝Asin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示． (1)根据图中数据求I＝Asin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ [自主解答]　(1)由图象可知A＝300， T＝2＝＝. ∴ω＝＝＝150π. ∴y＝300sin (150πt＋φ)． ∵函数图象过， ∴0＝300sin ， ∴sin ＝0. 令－＋φ＝kπ， ∴φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|＜， ∴当k＝0时，φ＝. ∴y＝300sin . (2)由题意T≤，即≤， ∴ω≥300π，∴ω的最小正整数值是943. [解题策略] 利用三角函数模型处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识相结合解题． [触类旁通] 2．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置的距离是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解析　(1)周期T＝＝1(s)． 列表： t 0 1 2πt＋ π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0