第1章 7 正切函数（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§7　正切函数 学业标准 素养目标 1．理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式．(难点) 2．掌握正切函数的图象和性质并能解决相关问题．(重点) 1．通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　正切函数的定义、诱导公式 　我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ [提示]　任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数． 　我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ [提示]　如tan(－x)＝＝－tan x．再如tan(kπ＋x)＝＝tan x．其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z.其他类似推出． ◎结论形成 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值　　是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝__tan_x__，其中定义域为　　 . 2．正切函数的诱导公式 tan(kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan(－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α tan(π－α)＝－tan α tan＝－ tan＝ 其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角． 说明：利用诱导公式，可将任意角的正切函数问题转化为上的正切函数值问题． 导学2　正切函数的图象与性质 　诱导公式tan(kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是最小正周期为π的周期函数． 　诱导公式tan(－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是奇函数． 　类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图)． 根据图象，试讨论正切函数的主要性质． [提示]　值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期，正切函数在区间上是单调递增的，故正切函数的单调递增区间为，k∈Z. ◎结论形成 1．正切曲线 正切函数的图象称为正切曲线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 　　 值域 　R　 奇偶性 __奇函数__ 周期性 kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是π 单调性 在每一个区间　，k∈Z　上单调递增 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为　，k∈Z　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在定义域上单调递增．(　　) (2)正切曲线的对称中心是，k∈Z.(　　) (3)函数y＝tan(π－x)是奇函数．(　　) (4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．π 解析　T＝＝. 答案　B 3．函数f(x)＝tan 的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C．，k∈Z D.，k∈Z 解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递增区间是，k∈Z. 答案　C 4．比较大小：tan ________tan . 解析　因为tan ＞0，tan ＜0，所以tan ＞tan . 答案　＞ 题型一　正切函数的定义域、值域问题 　(1)函数y＝的定义域为________ . (2)函数y＝tan ，x∈的值域是________ . [自主解答]　(1)要使函数y＝有意义，需满足 所以函数的定义域为 . (2)∵－＜x＜，∴－＜2x－＜， 即tan ＜1， 故函数的值域为(－∞，1)． [答案]　(1) (2)(－∞，1) [素养聚焦] 在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现了数学抽象、数学运算等核心素养． [规律方法] (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，但要注意x的范围，然后再确定tan x的范围． [触类旁通] 1．函数y＝tan (sin x)的定义域为______________，值域为____________ . 解析　∵－＜－1≤sin x≤1＜， ∴函数的定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1]． 答案　R　[－tan 1，tan 1] 题型二　正切函数的单调性 　(1)求函数y＝tan的周期和单调区间； (2)比较tan与tan的大小． [自主解答]　(1)函数的周期T＝＝2π， 由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得 2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z. (2)由于tan＝tan