第1章 6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

6．3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 学业标准 素养目标 1．了解A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响． 2．掌握探究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本方法．(难点) 3．会用函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质解决有关问题．(重点) 1．在图象间的变换过程中，提升直观想象等核心素养． 2．通过y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　探究A的取值对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 　在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝4sin x与y＝sin x的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？ [提示]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin(ωx＋φ)的图象所有点的纵坐标伸缩(横坐标不变)得到． ◎结论形成 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的__纵__坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的__A__倍(__横坐标__不变)得到的．A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为__振幅__ . y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ) y＝mf(x)＝mAsin(ωx＋φ)． 导学2　探究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 　探究函数y＝sin的周期、单调递增区间和对称轴． [提示]　周期T＝2π. 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z.由x＋＝kπ＋，得x＝kπ＋，k∈Z，即为函数图象的对称轴． ◎结论形成 1．探究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝　　； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的__五个__关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个__周期__上的图象，再利用其__周期性__把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 说明：这也是讨论周期函数的一般方法和步骤． 2．函数y＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)的性质 定义域 　R　 值域 __[－A，A]__ 周期性 　T＝　 奇偶性 φ＝　kπ，k∈Z　时是奇函数；φ＝　＋kπ，k∈Z　时是偶函数 单调性 单调递增区间可由　2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z　得到，单调递减区间可由　2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z　得到 对称性 对称轴方程为x＝　＋－，k∈Z　 . 对称中心为　，k∈Z　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2sin x的图象可由y＝sin x的图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的得到．(　　) (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A≠0，x∈R的最大值为A．(　　) (3)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(　　) (4)函数f(x)＝sin图象的一条对称轴为x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　) A．x＝－　　　　　 B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 解析　代入验证：当x＝－时， y＝sin ＝－为最小值，其余经代入验证不合题意，故选C． 答案　C 3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝sin |2x|　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝sin D．y＝cos 解析　y＝cos ＝－sin 2x符合题意．故选D. 答案　D 4．若f(x)＝sin是奇函数，则φ＝________ . 解析　由题意，可知＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，故当k＝1时，得φ＝. 答案　 题型一　由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式一题多解 　 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． [自主解答]　解法一　逐一定参法 由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin. 解法二　待定系数法 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有解得 ∴y＝3sin. 解法三　图象变换法 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. [规律方法] 给出