第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 学业标准 素养目标 1．了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系．(难点) 2．掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题．(难点) 1．通过学习余弦曲线，培养直观想象等核心素养． 2．通过余弦函数图象与性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　余弦函数的图象与性质再认识 　函数y＝cos x与y＝sin x图象间有什么关系？ [提示]　∵cos x＝sin ， ∴把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象． 　类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用余弦函数y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质． (1)讨论函数y＝cos x在区间[－π，π]上的单调性． [提示]　在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减． (2)当x∈R时，求函数y＝cos x取最大值时对应x的值． [提示]　x＝2kπ，k∈Z. (3)研究函数y＝cos x的奇偶性． [提示]　∵cos(－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称． (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z. ◎结论形成 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象与性质 图象 定义域 　R　 值域 __[－1,1]__ 最值 当　x＝2kπ，k∈Z　时，ymax＝1； 当　x＝(2k＋1)π，k∈Z　时，ymin＝－1 周期性 最小正周期为__2π__ 单调性 在区间　[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z　上单调递增； 在区间　[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z　上单调递减 奇偶性 __偶__函数，图象关于__y轴__对称 对称轴 x＝　kπ，k∈Z　 对称中心 　，k∈Z　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝Acos x＋2的最大值为A＋2.(　　) (2)y＝cos x在第二象限是增函数．(　　) (3)y＝sin的图象关于原点对称．(　　) (4)函数y＝cos的一条对称轴为x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝sin(x∈R)是(　　) A．奇函数　　　　　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法确定 解析　y＝sin＝cos x是偶函数． 答案　B 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 4．不等式sin＜0，x∈[0,2π]的解集为________ . 解析　y＝sin＝cos x，作出在x∈[0,2π]的简图． 满足cos x＜0的x的范围是，即不等式的解集为. 答案　 题型一　利用“五点法”作简图 　用“五点法”作出函数y＝cos在一个周期内的图象． [自主解答]　按五个关键点列表 x x－ 0 π 2π y＝cos 1 0 －1 0 1 描点、连线得函数y＝cos在一个周期内的图象，如图所示． [规律方法] 画y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，，π，，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标． [触类旁通] 1．用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的简图． 解析　按五个关键点列表 x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图(如图)． 题型二　求三角函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝＋； (2)y＝＋lg(2sin x＋)． [自主解答]　(1)由题意，x应满足的条件为 即 由数轴(如图)得原函数的定义域为 ∪∪. (2)由题意，x应满足的条件为 即 由单位圆求交集如图所示． 于是原函数的定义域为 . [规律方法] 含三角函数的函数的定义域的求法 先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角． [触类旁通] 2．函数y＝＋log的定义域为____________________ . 解析　根据题意，需满足条件 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，③ 解②得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，④ 将③④求交集，得2kπ＋≤x＜2kπ＋，k∈Z， 所以其定义域为，k∈Z. 答案　，k∈Z 题型三　正、余弦函数性质的综合应用题点多探　多维探究 角度1　三角函数奇偶性、周期性的应用 　已知函数f(x)是以为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝cos x，求f的值． [自主解答