第1章 4.3-4.4 诱导公式与对称 诱导公式与旋转（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

4．3　诱导公式与对称 4．4　诱导公式与旋转 学业标准 素养目标 1．了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(难点) 3．灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明．(重点) 1．通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　诱导公式与对称 　如图，在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考． (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ [提示]　(1)关于x轴对称． (2)关于原点对称． (3)关于y轴对称． 　根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin(－α)与sin α的值有何关系？cos(－α)与cos α的呢？ (2)sin(π＋α)与sin α的值有何关系？cos(π＋α)与cos α的呢？ (3)sin(π－α)与sin α的值有何关系？cos(π－α)与cos α的呢？ [提示]　借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 导学2　诱导公式与旋转 　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α＋的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P的坐标表示点P′的坐标？ (2)sin与cos α的值有何关系？ cos与sin α的呢？ [提示]　(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u)． (2)依据三角函数的定义得sin＝cos α. cos＝－sin α. 　利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系． [提示]　sin＝－sin ＝－sin＝－cos(－α)＝－cos α， 同理得cos＝sin α. ◎结论形成 1．正(余)弦函数的诱导公式 对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z)． sin(α＋2kπ)＝sin α sin(－α)＝－sin α sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sin α sin(α－π)＝－sin α sin(π－α)＝sin α sin＝sin＝cos α sin＝cos α cos(α＋2kπ)＝cos α cos(－α)＝cos α cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cos α cos(α－π)＝－cos α cos(π－α)＝－cos α cos＝cos＝－sin α cos＝sin α 2．诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin(－α)＝－sin α和cos(－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋，其中n＝1,2,3,4k(k∈Z)． 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常是把α看成锐角时原三角函数的符号． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (3)sin＝cos α.(　　) (4)若α为第二象限角，则sin＝cos α.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．点A(sin 2020°，cos 2020°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵2020°＝360°×5＋220°， ∴sin 2020°＝sin 220°＝－sin 40°＜0， cos 2020°＝cos 220°＝－cos 40°＜0.故选C． 答案　C 3．sin 95°＋cos 175°可化简为(　　) A．sin 5° B．cos 5° C．0 D．2sin 5° 解析　原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案　C 4．已知P(2,3)是角α终边上一点，则sin(π＋α)＝________. 解析　x＝2，y＝3，r＝＝， 则sin α＝＝. ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－. 答案　－ 题型一　利用诱导公式求值一题多变 　(1)求sin(－1200°)cos 1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)的值； (2)已知cos ＝，求sin 的值． [自主解答]　(1)由题意，知 原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×