第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学业标准 素养目标 1．理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质．(重点) 2．能用正余弦函数的基本性质解决相关问题．(难点) 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 　借助单位圆和正(余)弦函数的定义，如图，探究余弦函数u＝cos α的基本性质． (1)研究u＝cos α的值域． [提示]　由单位圆知－1≤u≤1， 即值域为[－1,1]． (2)研究u＝cos α的周期性． [提示]　∵对任意的k∈Z，α＋2kπ与α终边相同，∴cos(α＋2kπ)＝cos α， ∴2kπ(k∈Z且k≠0)为余弦函数的周期． (3)研究u＝cos α的单调性． [提示]　根据余弦函数的定义，在单位圆中，当角α由－π增加到0时，cos α的值由－1增加到1；当α由0增加到π时，cos α的值由1减小到－1，因此u＝cos α在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减，由余弦函数的周期性对任意k∈Z，余弦函数在[2kπ－π，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减． (4)研究u＝cos α的符号． [提示]　当角α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴时，cos α＞0.当角α的终边在第二或第三象限或x轴非正半轴时，cos α＜0.当角α的终边在y轴上时，cos α＝0. ◎结论形成 1．正(余)弦函数的基本性质 性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 　R　 　R　 值域 __[－1,1]__ __[－1,1]__ 最值 当α＝　2kπ－，k∈Z　时，vmin＝__－1__； 当α＝　2kπ＋，k∈Z　时，vmax＝__1__ 当α＝　2kπ，k∈Z　时，umax＝__1__； 当α＝　(2k＋1)π，k∈Z　时，umin＝__－1__ 周期性 周期函数，周期为__2π__ 周期函数，周期为__2π__ 单调性 在区间　， k∈Z　上单调递增； 在区间　， k∈Z　上单调递减 在区间　，k∈Z　上单调递增； 在区间　，k∈Z　上单调递减 2．终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝__sin_α__，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__，α∈R. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)μ＝sin α在区间上是增函数．(　　) (2)μ＝cos α在区间[0,2π]上的周期为2π.(　　) (3)μ＝sin x在区间(0,2π]上有3个不同零点．(　　) (4)μ＝cos α在区间(0，π)上的最大值为1，最小值为－1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝的定义域为________ . 解析　由sin α≠0，即α≠kπ，k∈Z， 故定义域为{α|α≠kπ，k∈Z}． 答案　{α|α≠kπ，k∈Z} 3．函数y＝cos α的零点为________ . 解析　由cos α＝0，得α＝kπ＋，k∈Z. 答案　kπ＋，k∈Z 4．函数y＝cos α在区间上的最大值为____________，最小值为______________ . 解析　如图． ymax＝1，ymin＝－. 答案　1　－ 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 　求值： (1)sin(－1 320°) cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋cos 495°； (2)cos＋sin. [自主解答]　(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＋cos(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135° ＝×＋×－＝1－. (2)原式＝cos＋sin ＝cos＋sin＝＋. [方法技巧] 利用终边相同角的正(余)弦 函数值相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α，α∈(0,2π)，k∈Z或k·360°＋α，k∈Z,0°＜α＜360°的形式． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值． [触类旁通] 1．求值sin＋cos·sin 16π. 解析　原式＝sin＋cos·sin(16π＋0)＝sin＋cossin 0＝. 题型二　正(余)弦函数的单调性题点多探　多维探究 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 　求下列函数的单调区间． (1)v＝sin α，α∈[－π，π