第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学业标准 素养目标 1．理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义．会求给定角的正余弦值．(重难点) 2．借助正(余)弦函数的定义，掌握正(余)弦函数在各象限的符号规律．(重点) 1．通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正(余)弦函数定义的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义 　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ [提示]　当α是锐角时，sin α＝v，cos α＝u.这一结论能推广到角α是任意角的情形． ◎结论形成 1．任意角的正(余)弦函数的定义(单位圆法) 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)． 把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，记作v＝__sin_α__； 把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，记作u＝__cos_α__ . 如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v＝sin α、余弦u＝cos α分别是以__角α的大小__为自变量，以单位圆上的点的__纵坐标、横坐标__为函数值的函数，其定义域为__全体实数__，其值域为__[－1,1]__ .这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了． 2．正(余)弦函数的定义(坐标法) 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝　　，cos α＝　　，其中r＝. 3．单位圆与正(余)弦函数值的符号 根据正(余)弦函数的定义，设角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)． (1)当点P在第一、二象限或y轴正半轴时，sin α＞0；当点P在x轴上时，sin α＝0；当点P在第三、四象限或y轴负半轴时，sin α＜0. (2)当点P在第一、四象限或x轴的正半轴时，cos α＞0；当点P在y轴上时，cos α＝0；当点P在第二、三象限或x轴的负半轴时，cos α＜0. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　) (3)角α的终边与单位圆的交点坐标为(cos α，sin α)．(　　) (4)不存在角α，使得sin α＜0且cos α＜0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则sin α的值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析　sin α＝＝. 答案　C 3．锐角α的终边交单位圆于点P，则sin α＝________. 解析　＋m2＝1，又m＞0， ∴m＝，∴sin α＝. 答案　 4．已知角α＝2，则点P(sin α，cos α)在第________象限． 解析　∵＜2＜π，∴2是第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0，故点P在第四象限． 答案　四 题型一　单位圆法求三角函数值 　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C． D． (2)若角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α＋cos α的值为________ . [自主解答]　(1)由任意角正(余)弦函数的定义，得sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－.故选B. (2)∵x2＋＝1，∴x＝±. 当x＝时，sin α＋cos α＝＋＝； 当x＝－时，sin α＋cos α＝－＝. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 用单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． [触类旁通] 1．角α的终边与单位圆相交于点M，则cos2α＋sin2α的值为________ . 解析　∵cos2α＝，sin2α＝，∴cos2α＋sin2α＝1. 答案　1 题型二　坐标法求三角函数值 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函 数值 　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. [自主解答]　由题意，知r＝|OP|＝， 由三角函数定义，得cos θ＝＝. 又cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，得P(1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，得P(－1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.