第1章 3 弧度制（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§3　弧度制 学业标准 素养目标 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．熟悉特殊角的弧度数．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题．(重点) 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　弧度概念 　在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 　 如图，三圆为同心圆，，，的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径有没有关系？ [提示]　没有关系． ◎结论形成 1．弧度制的定义 在单位圆中，把__长度等于1__的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号__rad__表示，读作弧度(通常__“弧度”__或__“rad”__省略不写)．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的__弧度数__ .这种以__弧度__作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度数与实数一一对应．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__ . 导学2　弧度与角度的换算 　在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ [提示]　360°；2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 1°＝ rad,1 rad＝. ◎结论形成 1．弧度与角度的换算 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 导学3　扇形的弧长和面积公式 　在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式|α|＝及0＜α＜2π可得l＝|α|r；扇形面积公式：S＝lr.推导如下： 设扇形的圆心角为α rad(α＞0)， 则扇形的面积为S＝·πr2＝αr2. 又因为l＝αr，所以S＝lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 度量单位类别 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝__|α|r__ 扇形的面积 S＝ S＝　lr　＝　|α|r2　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是π rad.(　　) (4)1弧度的角大于60°的角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．1 920°的角化为弧度数为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．π D．π 解析　设1 920°的弧度数为α， 则＝，∴α＝，故选D. 答案　D 3．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　) A．π cm B．π cm C．π cm D．π cm 解析　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)． 答案　A 4．(1)18°＝________rad；(2)π＝________ . 答案　(1)　(2)54° 题型一　弧度与角度的换算 　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. [自主解答]　(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×＝. (4)－＝－×＝－40°. [素养聚焦] 利用弧度制与角度制引起的计算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [方法技巧] 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用1°＝ rad化为弧度． [触类旁通] 1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 答案　(1)15 330°　(2)－105°　(3) (4)－ 题型二　用弧度制表示终边相同的角一题多变 　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4. [自主解答]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．本例变为：在区间[－5π，0