第2章 6.3 函数的最值（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

6．3　函数的最值 学业标准 素养目标 理解函数最大(小)值的意义，能利用导数求函数的最值．(重点、难点) 通过利用导数求函数的最值，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　函数的最值 如图是函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 　观察在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别是多少？ [提示]　存在，最小值为f(a)，最大值为f(x3)． 　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定，也可能是区间端点的函数值． ◎结论形成 1．函数的最值 名称 意义 图示 最大 值点 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值__都不大于__f(x0). 最小 值点 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值__都不小于__f(x0). 最值 函数的__最大值__和__最小值__统称最值. 2.函数在闭区间上的最值的求法 一般首先求出函数导数的零点，然后将所有__导数零点__与__区间端点__的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值． [拓展]　　　　“最值”与“极值”的区别和联系 1．“最值”是整体概念，是比较整个定义域上的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近的函数值得出的，具有相对性． 2．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． 3．极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值．一般地，对于区间上连续可导的函数，最值只要不在端点处必定是极值． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么f(x)在[a，b]上存在极值和最值．(　　) (2)函数的最值有可能在极值点处取得．(　　) (3)若f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么f(x)在(a，b)上存在最值．(　　) (4)如果函数f(x)在(a，b)上只有一个极值，那么这个极值就是相应的最值．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋　　　　　　 B．1 C．e＋1 D．e－1 解析　f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0. 当x∈[－1,0]时，f′(x)≤0； 当x∈[0,1]时，f′(x)≥0. 所以f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增． 又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1， 所以f(－1)－f(1)＝2＋－e＜0， 即f(－1)＜f(1)． 所以f(x)max＝f(1)＝e－1. 答案　D 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析　因为f′(x)＝－1＝， 当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0. 所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1. 答案　B 4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是____________． 解析　由f(x)＝sin x－2x－a， 得f′(x)＝cos x－2＜0， 所以函数f(x)在[0，π]上单调递减， 所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1. 答案　1 题型一　求函数的最值 　求下列各函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝(x2－3)ex. [解析]　(1)f′(x)＝12x2＋6x－36， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 f′(x) 0 － 0 ＋ f(x) 57 单调递减 － 单调递增 当x＞时，f′(x)＞0， 所以f(x)在上为增函数． 因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值． (2)函数的定义域是R，且f′(x)＝2x·ex＋(x2－3)ex＝ex(x2＋2x－3)． 令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－3； 令f′(x)