第2章 6.1 函数的单调性（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 学业标准 素养目标 1．理解导数的符号与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 1．通过导数与函数单调性关系的学习，提升数学抽象、直观想象等核心素养． 2．借助导数研究函数的单调性，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　导数的符号与函数的单调性之间的关系 　观察高台跳水运动员的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别． [提示]　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0； (2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0. 　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ [提示]　(1)在区间(－∞，＋∞)上，y′＝1>0，y是增函数； (2)在区间(－∞，0)上，y′＝2x<0，y是减函数； 在区间(0，＋∞)上，y′＝2x>0，y是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)上，y′＝3x2≥0，y是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上，y′＝－<0，y在每个区间上都是减函数． 　在区间(a，b)上，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增函数，反过来也成立吗？ [提示]　不一定成立．例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)≥0，即f′(x)>0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件． ◎结论形成 1．导数的符号与函数的单调性之间的关系 (1)若在定义域的某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)__＞__0，则在这个__区间__上，函数y＝f(x)单调递__增__． (2)若在定义域的某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)__＜__0，则在这个__区间__上，函数y＝f(x)单调递__减__． 2．函数单调递增(或递减)的充要条件 若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． [拓展]　 1．充分不必要条件 f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是函数f(x)在定义域内的某个区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件． 2．函数的变化快慢与导数绝对值的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角．(　　) (2)若f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上必有f′(x)＞0.(　　) (3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．(　　) (4)函数f(x)在(a，b)上变化得越快，其导数就越大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(2)>0 B．f′(2)<0 C．f′(2)＝0 D．f′(2)的正负不确定 解析　由图象可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，则在(1,3)上有f′(x)<0，故f′(2)<0. 答案　B 3．函数y＝x3－3x的单调减区间是(　　) A．(－∞，0)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析　y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3＜0得－1＜x＜1， 所以函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)． 答案　C 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是____________． 解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，即(x－2)ex＞0，解得x＞2. 答案　(2，＋∞) 题型一　利用导数求函数的单调区间 　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x－x3； (2)f(x)＝3x2－2ln x. [解析]　(1)因为f′(x)＝3－3x2 ＝－3(x＋1)(x－1)， 解法一　当f′(x)＞0， 即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增； 当f′(x)＜0， 即x＜－1或x＞1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减． 所以函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 解法二　令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x