第2章 3 导数的计算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　导数的计算 学业标准 素养目标 1．理解导函数的概念，会利用导数的概念求常见函数的导数．(难点) 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用．(重点) 1．通过学习导函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　导函数 　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)? [提示]　＝ ＝－2x0－Δx， 当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0， 所以f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1，f′(a)＝－2a. 　问题1中，若x0是一个变量x，f′(x)还是常量吗？ [提示]　f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ◎结论形成 导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的__每一点x__处都有导数f′(x)＝　 　，那么__f′(x)__是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的__导函数__，也简称为__导数__，有时也将导数记作__y′__. [点拨] f′(x0)与f′(x)的异同 名称 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值． 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值. f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数. 导学2　导数公式 　函数y＝f(x)＝x的导数是什么？ [提示]　因为＝＝＝1， 所以y′＝ ＝1，即y′＝1. 　函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？ [提示]　 y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动． ◎结论形成 基本初等函数的导数 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝__0__ y＝xα(α是实数) y′＝__αxα－1__ y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝__axln_a__ 特别地(ex)′＝__ex__ y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝　　 特别地(ln x)′＝　　 y＝sin x y′＝__cos_x__ y＝cos x y′＝__－sin_x__ y＝tan x y′＝　　 [拓展]　 1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝，于是f′(x)＝(logax)′＝′＝·(ln x)′＝.据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，另一方面还可以加深我们对这个导数公式的记忆． 2．由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝， 有f(x)＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (3)f(x)＝，则f′(x)＝－.(　　) (4)f(x)＝ln ex，则f′(x)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．f(x)＝x2，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．2　　　 B．1　　　 C．－2　　　 D．－1 解析　f′(x)＝(x2)′＝2x， 又f′(x0)＝2， 所以2x0＝2，所以x0＝1. 答案　B 3．曲线y＝f(x)＝ln x与x轴交点处的切线方程是____________． 解析　因为曲线y＝f(x)＝ln x与x轴的交点为(1,0)，所以f′(1)＝1，切线的斜率为1， 所以切线方程为y＝x－1. 答案　y＝x－1 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____________． 解析　因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2， 所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1， 所以三角形的面积，S＝×1×|－e2|＝e2. 答案　e2. 题型一　利用导数公式求函数的导数 　求下列函数的导数： (1)y＝x7；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝2sin cos ；(5)y＝logx2－logx. [解析]　(1)y′＝7x7－1＝7x6. (2)因为y＝x－2，所以y′＝－2x－2－1＝－2x－3. (3)因为y＝x，所以y′＝x. (4)因为y＝2sin cos ＝sin x， 所以y′＝cos x. (5)因为y＝logx2－logx＝logx， 所以y′＝(log