第1章 数列 章末整合提升1（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

一、求数列的通项公式(题点多探　多维探究) 求数列的通项公式是解决数列问题的核心内容，常见的求数列的通项公式的方法有以下几种。 角度1　观察法 　以下数表的构造思想源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”． 该数表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　) A．2 021×22 019　　　　　　 B．2 021×22 018 C．2 020×22 019 D．2 020×22 018 [解析]　由题意知，数表中的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……第2 019行公差为22 018.第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21……第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，易知第2020行只有一个数M，则M＝(1＋2 020)×22 018＝2 021×22 018. [答案]　B 角度2　公式法 　已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝____________. [解析]　由an＋1an＝an＋1－an，得1＝－，所以－＝－1. 所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列， 所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， 所以an＝－(n∈N＋)． [答案]　－ 角度3　由Sn求an 　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝____________. [解析]　依题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式， 所以an＝ [答案]　 角度4　累加法 　数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝(n≥2，n∈N＋)，则an＝____________. [解析]　由题意an－an－1＝，则当n≥2时， a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝， 这n－1个式子相加，就有an－a1＝＋＋…＋＝＝－，即an＝－. 当n＝1时，a1＝2也满足上式， 所以an＝－. [答案]　－ 角度5　累乘法 　在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，则an＝____________. [解析]　因为在数列{an}中，an＋1＝an， 所以＝， 所以＝，＝，＝，…，＝， 所以an＝a1····…·＝××××…×＝×＝. [答案]　 二、等差数列、等比数列的判定 等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列； ＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列． (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝anan＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔{an}是等比数列． [提醒]　(1)前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)数列即可． 　(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． [解析]　(1)证明　由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n.① 当n＝1时，原式恒成立． 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)．② 由①②得2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 整理得(2n－2)an＝(2n－2)an－1＋(2n－2)， 因为n≥2，故2n－2>0，所以an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知d＝1；由题意a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，化简得a1＝－12.故Sn＝na1＋d＝－12n＋＝n2－n＝2－.因为n∈N＋，所以n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 三、数列求和及综合应用 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解． 一般常见的求和方法有： (1)公式法：直接利用等差或等比数列的前n项和公式． (2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q